效用函式中的財富

假設有一個單位質量的代表家庭永遠活著。首選項如下：$$ \sum\beta^tu(c_t,k_{t-1}) $$ 技術如下：$$ k_{t+1}=AF(K_t,L_t)+(1-\delta)K_t-c_t $$生產函式的規模報酬不變。

家庭的動態計劃是：$$ V (k, z) = \max u(c, z) + \beta V (k’, k) + \lambda [R k + w − c − k’] $$或者 $ L=\beta^tU(c_t,k_{t-1})+\lambda_t[R_t k_t + w_t − c_t − k_{t+1}] $

火： $ U_c(c,z)=\beta R’U_c(c’,z’)+\beta^2U_z(c’’,z’’) $ ， 在哪裡 $ z’=k $ .

我的問題是為什麼穩態資本存量是這樣寫的？ $$ 1=\beta[f’(k)+1-\delta]+\beta^2\frac{u_z(f(k)-\delta k,k)}{u_c(f(k)-\delta k,k)} $$

兩點：

1. 正如理查德哈代在評論中指出的那樣，這個問題並沒有真正描述財富。
2. 我很好奇這是什麼型號。我想不出任何在效用函式中包含滯後資本的模型。然而，歐拉的形式非常類似於預付現金模型（這很有趣）。

按照您編寫 Bellman 的方式，但去掉乘數，因為根據問題，約束綁定。

$ V[k_t, k_{t-1}] = U[AF[k_t] +(1-\delta)k_t, k_{t-1}]+\beta V[k_{t+1}, k_t] $

FOC（相對於 $ (k_{t+1}) $ ):

$ U_1[c_t, k_{t-1}]=\beta V_1[k_{t+1}, k_t] $

信封條件 1（相對於 $ k_t $ ):

$ V_1[k_t, k_{t-1}] = U_1[c_t, k_{t-1}](AF_1[k_t] + 1-\delta) + \beta V_2[k_{t+1}, k_t] $

信封條件 2（相對於 $ k_{t-1} $ ):

$ V_2[k_t, k_{t-1}] = U_2[c_t, k_{t-1}] $

將包絡條件向前迭代一個週期並使用 FOC 得到（假設消耗有限）：

$ U_1[c_t, k_{t-1}]/U_1[c_{t+1}, k_{t}] = \beta (AF_1[k_{t+1}] + 1-\delta) + \beta^2 U_2[c_{t+2}, k_{t+1}]/U_1[c_{t+1}, k_{t}] $

現在施加穩態（表示處於穩態 $ k_{t+1}=k_t=k $ ） 你有：

$ 1 = \beta (AF_1[k] + 1-\delta) + \beta^2 \frac{U_2[AF[k]-\delta k, k]}{U_1[AF[k]-\delta k, k]} $

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/48627