冪律指數和帕累托指數有什麼區別？

我使用 R 中的powerlaw包來為我的數據擬合冪律。我試圖弄清楚帕累托指數的值是多少。

假設機率質量函式定義為：

$$ p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{min}} \left(\frac{x}{x_{min}} \right)^{-\alpha} $$

互補累積密度函式定義為：

$$ P(x) = \int_x ^\infty p(x’) dx’ = \left(\frac{x}{x_{min}}\right)^{-\alpha + 1} $$

是帕累托指數 $ \alpha $ 或者 $ - \alpha + 1 $ 或者 $ \alpha - 1 $ ? 在大多數文獻中，CCDF 用於描述收入/財富分配，以及 $ -(\alpha-1) $ 是對數對數圖上 CCDF 的斜率，所以 $ \alpha-1 $ 似乎是最直覺的。我很確定 R 庫powerRlaw 會返回 $ \alpha $ 如上定義。我使用紐曼作為參考。

隨機變數 $ X $ 有一個帕累托分佈，帕累托指數 $ \theta $ 如果 $$ \text{P}(X>x)=\begin{cases} \left(\frac{x}{x_m}\right)^\theta \quad \text{ if } x\geq x_{min}\
\ 1 \quad \quad \quad \text{ if } x<x_{min} \end{cases} $$

在這種情況下，帕累托指數是 $ \theta = \alpha - 1 $ . 請記住 $ P(X>x)=\int_x^\infty p(x’)\mathrm{d}x’ $ .

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/30587