工人與資本所有者的收入份額何時增加？
工人而不是資本所有者在總收入中所佔的份額顯然是出於利益考慮。假設經濟可以用一個總生產函式來描述
$$ Y = F(K,L) $$
在哪裡 $ K $ 是資本投入和 $ L $ 是勞動力投入，勞動力和資本的總支出為
$$ pY = rK + wL, $$
在哪裡 $ p $ 是產出價格， $ r $ 是使用者的資本成本和 $ w $ 是工資（假設所有市場都存在完全競爭）。因此，勞動佔總收入或支出的份額為
$$ s_L := \frac{wL}{pY} = \frac{wL}{rK + wL}, $$
只取決於 $ w,r,L,K $ .
替代彈性定義為
$$ \sigma := - \frac{d\log(K/L)}{d\log(r/w)}, $$
描述在資本與工資的使用者成本比率發生變化的情況下，資本與勞動力的比率如何變化。
因為支出的勞動份額和替代彈性都取決於變數 $ w,r,L,K $ 這提出了一個問題：
勞動收入份額的變化如何 $ s_L $ 由於相對價格的變化 $ (r/w) $ 與替代彈性有關 $ \sigma $ ?
從股份方程，我們得到： $$ 1 + \frac{rK}{wL} = \frac{1}{s_L} \to tk = \frac{1 - s_L}{s_L} $$ 我定義的地方 $ t = \frac{r}{w} $ 和 $ k = \frac{K}{L} $ .
然後記錄日誌給出： $$ \ln(k) = -\ln(t) + \ln(1-s_L) - \ln(s_L) $$ 然後對該表達式求導 $ \ln(t) $ : $$ \begin{align*} -\sigma &= -1 - \dfrac{\dfrac{\partial s_L}{\partial \ln(t)}}{1 - s_L} - \gamma,\ &=-1 - \gamma - \frac{s_L}{1 - s_L} \gamma = -\left(\frac{\gamma}{1 - s_L} +1\right) \end{align*} $$ 我們定義的地方 $ \gamma $ 為勞動收入份額相對於 $ r/w $ 比率。
解決 $ \gamma $ 給出： $$ \gamma = \left(\sigma-1\right)(1 - s_L) $$ 意思就是 $ \gamma > 0 $ 如果 $ \sigma < 1 $ . 換言之，如果替代彈性小於 1，則勞動份額增加 $ r/w $ 增加。