當通過 OLS 估計 VAR(1) 時，我得到了 AR 矩陣的轉置。為什麼？

模型： $ y_t = \Phi y_{t-1} + (\mathbb{I_n}-\Phi)\mu + \Sigma \varepsilon_t $ 英石 $ y_t $ 是一個 $ (n \times 1) $ 向量，和 $ \varepsilon_t \sim N(\vec{0},\mathbb{I}_n) $ . $ \mathbb{I} $ 是單位矩陣。 $ \Phi $ 和 $ \Sigma $ 是 $ (n \times n) $ 矩陣。

考慮以下 MATLAB 程式碼。

Sigma = eye(2); %sqrtm(Covariance matrix)
Phi{1} = [0.9,0.12;0,0.9]; %Autoregressive matrix
mu = [0;0]; %Constant vector
nTs = 1000; %Length of simulation

%Specify Model
mdl = varm(2,1); 
mdl.AR = Phi;
mdl.Constant = mu;
mdl.Covariance = Sigma^2;

%Simulate Model
simTs = simulate(mdl,nTs); %Simulate VAR(1) (nTs x 2)

%Estimate Model
X = simTs(1:end-1,:);
Y = simTs(2:end,:); 
hatPhi = (X'*X)\(X'*Y)

>> hatPhi =
      0.8939  -0.0057
      0.1721   0.8732

請注意，輸出是所提供的 AR 矩陣的轉置。為什麼是這樣？感覺自己傻了，呵呵。

我看到 $ n=2 $ 和 $ \mathbf \mu = \mathbb0 $ . 在單（二維）觀察水平，我們通常寫（忽略干擾向量）

$$ \mathbf y_t = \Phi \mathbf y_{t,-1} $$ 尺寸適合您的情況 $ (2 \times 1) = (2 \times 2) \times (2 \times 1) $ .

但請注意，標準回歸公式的係數向量在回歸矩陣的“右側”……所以為了能夠應用標準 OLS 估計公式，我們轉置並獲得

$$ \mathbf y’t = \mathbf y{t,-1}’\Phi’ $$ 在全樣本水平，我們得到

$$ \mathbf Y’ = \mathbf Y_{-1}’\Phi’ $$ 哪裡有 $ T+1 $ 二維觀測可用，維度為（ $ T \times 2 $ ) = $ (T \times 2) \times (2 \times 2) $

因此，當像您的程式碼一樣應用標準 OLS 公式時，估計器會估計 $ \Phi’ $ ， 不是 $ \Phi $ .

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/16480