為什麼 PIH 中的確定性等價僅適用於二次效用
在我目前的宏觀經濟學課程中，有人說隨機遊走永久收入假設中存在確定性等價性（“這意味著個人表現得好像未來消費處於其條件平均值並忽略其變化”）僅在效用假定在表格上$$ u(c) = c - ac^2/2 $$ 我查閱了課本，但找不到任何嚴格的證據或直覺。有人可以幫忙嗎？
永久收入假設背景下的確定性等價意味著 $ u’(E_t[c_{t+1}]) = E_t[u’(c_{t+1})] $ ，僅當邊際效用成立 $ u’(\cdot) $ 是線性的（通過預期的線性），因此只有當實際效用 $ u(\cdot) $ 是二次的。
要了解這是從哪裡來的，請考慮一個有代表性的家庭在無限範圍內的效用最大化問題，其中消費流 $ {c_t} $ 和資產持有流 $ {a_{t+1}} $ 被選擇，假定給定的實際利率，固定在 $ r $ , 初始財富 $ a_0 $ 和收入流 $ {y_t} $ . 最後，將效用與消耗成二次方： $ u(c_t) = \alpha c_t - \frac{1}{2}c^2_t $ 有足夠大的 $ \alpha $ .
所以家庭的最大化問題是
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} & \underset{{c_t, a_{t+1}}}{\text{max}} & & E_0\sum_{t=0}^{\infty} \beta^{t}u(c_t), \text{ where } \beta = \frac{1}{1 + \rho} \text{ , } \rho > 0 \ & \text{s.t.} & & c_t + a_{t+1} = (1+r)a_t + y_t & \forall t.\ \end{aligned} \end{equation*} $$
$$ $$ 因此，這個最大化問題的拉格朗日是
$$ \begin{equation*} \mathcal{L} = \sum_{t=0}^{\infty} \beta^{t} {E_t[u(c_t) + \lambda_t((1+r)a_t+y_t-c_t-a_{t+1})]}. \end{equation*} $$ $$ $$
拉格朗日的一階條件是 $$ \begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_t} &= \beta^{t} u’(c_t) - \beta^t\lambda_t = 0 &&(1)\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a_{t+1}} &= -\beta^{t}\lambda_t + \beta^{t+1} (1+r)E_t[\lambda_{t+1}] = 0 &&(2). \end{align} $$ $$ $$
解決 $ \lambda_t $ 使用 (1) 並代入 (2) 給出 $$ \begin{align*} u’(c_t) = \beta (1+r)E_t[u’(c_{t+1})]. \end{align*} $$ $$ $$
拿 $ \rho = r $ 為了簡單起見，在這個經濟體中。因此 $ \beta(1+r) = 1 $ : $$ \begin{align*} u’(c_t) = E_t[u’(c_{t+1})]. \end{align*} $$ $$ $$
由於效用是二次的，邊際效用是線性的，這意味著邊際效用的期望是期望的邊際效用： $$ \begin{align*} u’(c_t) = u’(E_t[c_{t+1}]) \end{align*} $$ 這意味著 $$ \begin{align*} c_t = E_t[c_{t+1}] \end{align*} $$ 自從 $ u’(\cdot) $ 是內射的。因此我們有確定性等價性。