為什麼效用應該有界（或無界）？
對於期望效用和 SEU，人們制定公理以確保效用是有界的。但是，我個人認為效用函式必須是無界的，尤其是當我們考慮基數效用時。我將在一個實驗中解釋我的觀點。
即使我的邊際效用遞減，也總會有一些貨幣增加，這將使我的效用提高一個單位。例如，有可能雙倍的錢對我來說意味著一個單位的效用，或者三倍的錢對我來說意味著一個單位的效用。無論哪種方式，我的效用函式的範圍都必須是無限的。用更嚴謹的語言來說，如果貨幣的效用函式是有界的，那麼當貨幣接近無窮大時，效用函式就會任意接近一個常數函式，這違反了非飽和性。
我的問題是，哪位經濟學家認為現實生活中的效用必須是無界的，誰認為有界的效用更規範、理性或自然？經濟學家們是否達成了共識，即效用函式在現實生活中必須有界？任何文獻都會非常有幫助。
有界效用的來源：歐盟：有界預期效用，PC Fishburn (1967)
**tl; dr：**簡短的回答是，理性人的基數效用在很大一部分文獻中源自馮·諾依曼和摩根斯坦的預期基數效用框架。在這樣的框架中，效用必須受到我們對理性的定義的限制。因此，在這樣的框架中，簡短的回答就是效用必須受到限制，人才能被認為是理性的。
還有一些預期效用框架允許預期效用不受限制（參見Fishburn，1976 年的評論）。然而，這些並沒有被廣泛使用，因為它們經常會導致悖論並且似乎沒有提供任何特別的見解。我想這是由於工具主義對經濟思想的強烈影響。研究人員更喜歡能夠提供一些可測試預測的實用框架，而不是只會導致悖論並因此不提供有用的可測試預測的實用框架。因此，即使有人可能認為無限效用的概念更優雅，它在研究中的工具價值也幾乎沒有（如果在特定情況下它會導致無法解決的悖論）。
完整答案：
為了避免聖彼得堡悖論等悖論，該實用程序需要有界（有關更細緻入微的概述，請參閱斯坦福哲學百科全書中的此條目）。事實上，一個理性的人的效用應該按照阿羅（Arrow，1970）所建議的那樣精確地參考上述悖論。
更一般的實際基數效用將受到最初用於推導預期基數效用的公理的限制。根據 Neumann 和 Morgenstern (1947) Theory of Games and Economic Behavior，賭博的預期效用可以用所謂的 von Neuman-Morgenstern 方程來描述：
$$ E[u(g_i)] = \sum_j u(X_{ij})p_{ij} $$
在哪裡 $ u $ 是效用 $ g_i $ 是賭博 $ X $ 是一個結果，並且 $ p $ 是一個機率。此外，為了使上述方法有用，我們必須有一些連續的賭博：
$$ g_i,g_j \in \mathbf{G}: g_j \succeq g_i \implies E[u(g_j)]\geq E[u(g_i)] $$
現在考慮到這一點，我們可以問（正如論文作者所做的那樣）這種效用函式的屬性是什麼？
現在事實證明，偏好滿足傳遞性、完整性、連續性和獨立性的基本理性約束意味著效用必須是有界的。
完備性公理指出：
$$ \forall x,y \in \mathbf{X}: x \succeq y \vee y\succeq x \vee y \thicksim x $$
也就是說，我們可以以某種方式根據偏好對所有選項進行排序。
傳遞性公理指出：
$$ \forall x,y,z \in \mathbf{X}, \text{ if } x \succeq y \wedge y \succeq z \implies x \succeq z $$
所以如果有人喜歡 $ x $ 多於 $ y $ 和 $ y $ 多於 $ z $ 然後 $ x $ 必須優於 $ z $
連續性 $ z \succeq y \succeq x $ ，那麼一定有一定的機率 $ p $ 這樣的：
$$ {px,(1-p)z} \thicksim y $$
這意味著沒有結果 $ x $ 太可怕了，你不會去賭博 $ x $ .
根據獨立公理如果 $ y \succeq x $ 那麼對於 $ z $ 和一些機率 $ p $
$$ {px,(1-p)z} \preceq {py,(1-p)z} $$
這個公理表明，如果兩個結果具有相同的機率，我們應該獨立於我們認為結果是什麼來評估這兩個備選方案。
上述公理是我們如何定義預期基數效用的合理性。當然，效用函式有不同的可能規範，但大多數現代研究依賴於馮·諾依曼-摩根斯坦類型（或相關的效用函式）。
現在，這些理性要求——它們是公理，因此根據定義，它們是在這種情況下的理性，只是要求沒有結果可以產生無限的效用。為了看到這一點，我們可以嘗試通過反證來證明——假設這裡有一場賭博： $ x = 1€ $ , $ y=100€ $ 和 $ z= \infty € $ 然後 $ u(X)=x $ . 在這種情況下，顯然 $ z \succ y \succ x $ 但沒有 $ p $ 連續性公理成立。由於連續性公理將被違反，我們關於什麼是理性的基本公理將不成立，並且具有無限效用的人將不再是理性的（在馮諾依曼和摩根斯坦框架的背景下）。