有人能幫我填補留給讀者的教科書練習中缺少的步驟嗎
問：假設 $ C_t=(1-s)Y_t-\lambda G_t $ 在哪裡 $ s>\sigma $ 就像在基本的索洛模型中一樣。財政支出中的比重 $ \phi $ 投資於公共資本形成。因此我們假設 $ K_{t+1}=I_t+\phi G_t+(1-\delta)K_t $
$ Y_t=K^{\alpha}_tL^{1-\alpha}_t $
$ Y_t=C_t+I_t+G_t $
$ K_{t+1}=I_t+(1-\delta)K_t $
$ L_{t+1}=(1+n)L_t $
$ G_t=\sigma Y_t $
在什麼情況下，人均資本的穩態水平會增加 $ \sigma $
試圖：
第1步） $ \frac{Y_t}{L_t}=\frac{K^{\alpha}_t}{L_t}\frac{L^{1-\alpha}_t}{L_t} $ 這等於 $ y_t=k^{\alpha}_t $
對我們得到的國家認同使用相同的過程
人均資本的演變由以下等式給出：
$ (1+n)k_{t+1}=i_t+\phi g_t+(1-\delta)k_t $ 然後轉到：
$ k_{t+1}\approx i_t+\phi g_t+(1-\delta-n)k_t $
$ k_{t+1}=[k^{\alpha}_t-c_t-g_t]+\phi g_t+(1-\delta-n)k_t $
現在，我們可以減去 $ k_t $ 從 $ (1-\delta-n)k_t $ 我們得到：
$ k_{t+1}-k_t=-(n+\delta)k_t+\phi g_t+k^{\alpha}_t-c_t-g_t $
= $ (n+\delta)k_t+\phi g_t+k^{\alpha}_t - [(1-s)k^{\alpha}_t-\lambda g_t]-[\sigma k^{\alpha}_t] $
= $ -(\delta +n)k_t+\phi [k^{\alpha}_t\sigma]+k^{\alpha}_t-[(1-s)k^{\alpha}_t-\lambda [k^{\alpha}_t \sigma]] $
我們可以將其代數簡化為：
$ k_{t+1}-k_t= \phi [k^{\alpha}_t \sigma] + sk^{\alpha}_t+ \lambda[k^{\alpha}_t\sigma]+(\delta+n)k_t $
最後將兩邊除以 $ k_t $ 並設置 LHS 等於 0 並獲得穩態平衡為：
$ 0 = \frac{\phi[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}+\frac{sk^{\alpha}_t}{k_t}+\frac{\lambda[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}-(\delta+n)k_t $
評論：我很確定我的微積分是正確的（也許除了最後一個等式。有人可以為我確認嗎？
總的來說，它幾乎是正確的，但有一些小錯誤並且不完整。
第一個錯誤：
在步驟（1）中你寫：
$ \frac{Y_t}{L_t}=\frac{K^{\alpha}_t}{L_t}\frac{L^{1-\alpha}_t}{L_t} $
但實際上應該是 $$ \frac{Y_t}{L_t}=\frac{K^{\alpha}_t L^{1-\alpha}_t}{L_t} $$
您不能將方程的 LHS 除以 $ L $ 和 RHS 由 $ L L \implies L^2 $ 因為這通常會違反 $ Y= K^{\alpha}L^{1-\alpha} $ .
然而，這個錯誤對問題的其餘部分沒有影響，因為儘管犯了這個錯誤，你仍然使用了正確的人均產出定義： $ y_t=k^{\alpha}_t $
第二個錯誤
你說你把兩邊分開 $ k_t $ ，但你忘了在最後一個學期這樣做。你寫：
$ 0 = \frac{\phi[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}+\frac{sk^{\alpha}_t}{k_t}+\frac{\lambda[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}-(\delta+n)k_t $
正確的穩態方程應該是：
$$ 0 = \frac{\phi[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}+\frac{sk^{\alpha}_t}{k_t}+\frac{\lambda[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}-(\delta+n) \tag{*} $$
第三個“錯誤”：未完成
我在這裡使用引號中的“錯誤”，因為這不是與其他錯誤相同的錯誤，但讓問題未完成仍然不是一個好習慣。如果您在考試中這樣做，那將花費您一些分數（有些教授甚至可能拒絕為未完成的工作給予任何分數）。
我有一種衝動，因為你現在在家裡伸展，但正確的答案應該有解決方案 $ k^* $ （除非問題明確指出它不需要完整的解決方案，在這種情況下我在您的 Q 中沒有看到）。
求解方程 $ * $ 為最佳 $ k^* $ 產量：
$$ k^* = \left( \frac{(\phi+\lambda)\sigma +s}{\delta +n} \right)^{\frac{1}{1-\delta}} $$
上面說的不要氣餒，大多數嘗試都是正確的。只是對算術更加小心，不要在完成之前停止。