計算平衡增長路徑的時間
$ \textbf{Model:} $
$$ \underset{{c_t,k_t}}{max};\sum_{t=0}^\infty\beta^t\frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma} $$ $$ s.t.;c_t=Rk_{t-1}-k_t $$ $$ c_t,k_t\geq0 $$ 當時 $ t $ , $ c_t $ 是消費和 $ k_{t-1} $ 是用於生產的資本。 $ 0<\beta<1,;\gamma>0,;\gamma\neq1 $ $ \textbf{(a)} $ 計算一條消費和資本以恆定速率增長的平衡增長路徑。
使用歐拉方程解決這個問題，我們得到
$$ \frac{c_{t+1}}{c_t}=\big(\beta R\big)^{\frac{1}{\gamma}} $$ 我們知道，在均衡增長的路徑中，資本必須以與消費相同的速度增長，所以 $$ \frac{k_{t+1}}{k_t}=\big(\beta R\big)^{\frac{1}{\gamma}} $$ 這意味著： $$ c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t $$ $ \textbf{(b)} $ 資本和消費在平衡增長路徑上以正速度增長需要哪些限制？ 對於這個問題，我們似乎只需要 $ R>1 $
現在，我的問題是：消費和資本需要多長時間才能達到平衡增長的路徑？一般來說，如何計算平衡增長路徑的時間？還是更多地基於經濟直覺？
$ \textbf{Edit:} $ 據另一位學生說，教授說這永遠不會達到平衡的增長路徑。然而，教授從未說明原因。誰能給我一個理由，為什麼這永遠不會達到平衡的增長路徑？
a) 你的計算是正確的，但是為了消費是正數，所以
$$ c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t > 0, $$ 您將需要附加條件。第一個是顯而易見的 $ k_t > 0 $ . 如果沒有什麼可以獲取利益，就沒有增長，也就沒有消費。第二個更細緻 $$ \frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1 > 0. $$ 這實際上是最優解存在的必要條件。不等式可以重新表述為 $$ \beta \cdot R^{1 - \gamma} < 1. $$ 如果這不成立，那麼給定任何消費路徑，消費者將通過將所有消費再推遲一個時期來獲得。由於沒有無限遠的時間段，因此不存在最優值。 b) 關於達到平衡消費路徑：
也許有一個技巧。 $ c_0 $ 除非有 $ k_{-1} $ . 如果消費開始於 $ t = 1 $ ，滿足上述條件，則消費者是理性的
$$ \forall t: \ c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t $$ 定義了我假設的最佳消費路徑 $ k_0 $ 給出並且 $$ \forall t: \ k_t = k_0 \cdot (\beta R)^{\frac{t}{\gamma}}. $$ 因此 $$ \forall t: \ c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg) \cdot k_0 \cdot (\beta R)^{\frac{t}{\gamma}}. $$ 很容易檢查這條路徑是否可行（如果滿足 a）中規定的條件）和平衡。
關於達到平衡消費路徑的說明：這個概念通常存在於平衡性和最優性之間存在一些衝突或者當消費者是有限理性的時候。（例如 Solow 模型。）這裡似乎並非如此。然而，當這樣的衝突出現時，通常會有一個永無止境的（這是這個詞的正確拼寫嗎？如果錯了請糾正。）向平衡路徑收斂。距離在每個週期都會減小，但永遠不會變為 0。