為什麼絕對價格通脹取決於利率而相對價格通脹不取決於利率？
這是我之前問題的後續：沒有錢的模型怎麼會有通貨膨脹？我已經用一個例子回答了我自己的問題。
簡單回顧一下這個例子，考慮一個有兩種商品和一個家庭的封閉經濟體，該經濟體具有以下兩期跨期效用：
$$ U = u(x_1, y_1) + \frac{1}{2} u(x_2, y_2) \quad \text{where} \quad u(x, y) = 2 \ln x + \ln y $$
家庭有一個時期 1 禀賦 $ (e^x, e^y) = (120, 120) $ 但沒有第二期禀賦。投資於第 1 期的每單位商品 x 和 y 的收益率 $ 2 $ 商品 x 的單位和 $ 4 $ 分別在第 2 期的商品 y 的單位。
讓 $ p_1^x, p_1^y, p_2^x, p_2^y $ 分別為第 1 期和第 2 期商品 x 和 y 的現貨價格， $ r $ 成為利率。跨期預算約束為：
$$ p_1^x x_1 + p_1^y y_1 + \frac{p_2^x x_2 + p_2^y y_2}{1+r} = p_1^x e^x + p_1^y e^y $$
在均衡時，市場出清條件為：
$$ x_2^* = 2(120 - x_1^) \ y_2^ = 4(120 - y_1^*) $$
我們可以很容易地求解平衡量：
$$ (x_1^, y_1^, x_2^, y_2^) = (80, 80, 80, 160) $$
在均衡時，效用最大化的一階條件給了我們：
$$ 40 (1+r) p_1^x = 80 (1+r) p_1^y = 80 p_2^x = 320 p_2^y $$
我們無法確定利率 $ r $ 因為系統是不確定的——它只能是外生的。然而，我們可以用下式來表示商品 x 和 y 的絕對價格通脹 $ r $ :
$$ \frac{p_2^x}{p_1^x} = \frac{1+r}{2} \quad \text{and} \quad \frac{p_2^y}{p_1^y} = \frac{1+r}{4} $$
另一方面，我們可以計算以下比率：
$$ \frac{p_2^x / p_2^y}{p_1^x / p_1^y} = 2 $$
我對比例的解讀：商品的相對價格 $ x $ 會膨脹 $ y $ 因數 $ 2 $ ，不管利率。
問題：
- 為什麼在單戶的例子中價格和利率仍然存在？家庭是否與自己交易和借貸？
- 為什麼絕對價格通脹取決於外生變數利率 $ r $ ，而相對價格通脹可以內生地確定，而不管 $ r $ ? 我認為這與範例中沒有錢有關嗎？
為什麼在單戶的例子中價格和利率仍然存在？家庭是否與自己交易和借貸？
在您上面介紹的模型中，商品的生產方式是模棱兩可的，因此存在模棱兩可的地方。你可以有一個經濟模型，其中單個家庭擁有公司並與自己進行交易。但是，除非您的描述缺少上下文，否則通常會提到這一點
說到利率，利率只是現在和未來價值之間的匯率 $ PV= FV/(1+r) \implies PV(1+r)=FV $ . 利息的存在不需要任何金融市場。只要您有超過 1 個時間段，總會有一些實際利率。利率只是現在和未來之間的匯率。此外，在您的情況下，市場出清條件將使任何時期 1 的儲蓄增長，因此您也可以想像這裡的經濟有一些類似金融系統的“投遞箱-文案機”。您將在第 1 期未消耗的任何東西傳遞給機器，在第 2 期機器將您的第一個產品的所有節省乘以因子 2，第二個產品的所有節省乘以因子 4。
這些都是簡化假設，因為一旦你明確假設同時存在工人、公司所有者和銀行，你不僅要對家庭效用和決策建模，還要對公司和銀行分別建模。除非這種增加的複雜性會從質量上改變模型中感興趣的結果，否則將其全部建模是浪費時間。模型應該是現實的簡化版本。
但是，票據價格和利率不需要交易。例如，在一個簡單的魯濱遜克魯索經濟中，克魯索可以選擇：
- a) 去釣魚，他每小時可以釣到 1 條魚
- b) 收集木頭，他每小時可以收集 10 塊木頭
給定上述魯濱遜漂流記經濟的參數，魚的價格是 10 根，一根棍子的價格是魚的 1/10。
要衡量通貨膨脹，您必須將一種商品聲明為計價商品，否則您將遇到一個問題，即當選擇不同的商品時，您會得到不同的 CPI。讓我們說，我們宣布棍子是 numeraire。在這種情況下，我們可以說魚的價格是 1/10=0.1 根，而魚的價格是 1 根。
如果您允許多個時間段並且如果您允許 RC 保存和投資他的一些釣竿（例如，他可以使用它們對更好的釣竿和漁船等進行資本投資），利率也可能存在。
儘管在您的模型中沒有明確的假設商品是如何生產的，所以那裡再次存在模棱兩可的地方，但在像您這樣的簡單模型中，它們也可能只是出現在市場上，其功能類似於文丁機。
為什麼絕對價格通脹取決於外生變數利率 r，而相對價格通脹可以由內生決定，而與 r 的值無關？我認為這與範例中沒有錢有關嗎？
首先，貨幣經濟中的通貨膨脹還取決於 $ r $ . 例如，在標準教科書 IS-LM 中，貨幣市場均衡將由下式給出：
$$ M/P= L(Y,i) $$
在哪裡 $ M $ 是貨幣供應量， $ P $ 總價格水平， $ Y $ 輸出和 $ i $ 利率，以及 $ L $ 是對可貸資金/貨幣的需求。如果我們解決 $ P $ : $ P=M/L(Y,i) $ （至少在您接受 IS-LM 模型的程度上，但大多數宏觀經濟學家會）。接下來，通過Fisher方程 $ i \approx \pi +r $ ，因此價格水平通常也應取決於有貨幣的經濟中的實際利率。
其次，現在為您的特定型號給出具體答案，原因如下：
- 您正在處理的是禀賦經濟，這兩種商品的禀賦都是固定的（也就是想像一下 Hermes 以他的恩典為您的家庭裝滿了“文案機器”）。
- 其次，市場出清條件規定了一個人在第二個時期可以儲蓄和投資部分捐贈基金的比率。
- 利率再次只是告訴您消費的目前價值和未來價值之間的匯率。利率越高，您的第 2 期消費的現值越低（家庭越不耐煩）。
因此，商品 1 在不同時期的價格比率將取決於利率 $ p_2^x/p^x_1 = (1+r)/2 $ ，因為如果您對未來消費的重視程度較低（較高 $ r $ )，你會消耗更多的 $ x $ 今天很好，會更少 $ x $ 明天好，這將影響價格。
此外，平衡條件捕捉到了這一點：
$$ 40(1+r)p^x_1=80(1+r)p^y_1=80p^x_2=320p^y_2 $$
這個條件只是說消費的未來價值 $ x_1 $ 必須等於商品的未來價值 $ x_2 $ 這需要等於 $ x_2 $ 和 $ y_2 $ （已經在未來）。或者，您可以將相同的等式重寫為：
$$ 40p^x_1=80p^y_1= \frac{80p^x_2}{(1+r)}=\frac{320p^y_2}{(1+r)} $$
這只是說明今天的消費價值 $ x $ 必須等於今天的消費價值 $ y $ 它必須等於未來消費的現值 $ x $ 和 $ y $ . 從經濟上講，這是非常直覺的結果。