關於定價公式中的近似值的問題

我正在閱讀《金融期權估值導論》一書。第 58 頁上的以下內容讓我感到困惑：

對於公式： $ \exp \left{ -1.96\sigma \sqrt{t}+(\mu-0.5 \sigma^2)t \right} $ ,

如果 $ t $ 很小，那麼它大約等於 $ \exp \left (-1.96 \sigma \sqrt{t} \right ) $ .

此外，第二個公式近似等於 $ 1 - 1.96 \sigma \sqrt{t} $ .

我不明白我們怎樣才能得到第二個和第三個表達式。如果 $ t $ 非常小，那麼 $ \sqrt{t} $ 應該是無窮小的。那麼，為什麼有 $ (\mu-0.5 \sigma^2)t $ 在第二個公式中消失了，但不是 $ -1.96 \sigma \sqrt{t} $ ?

為了簡化符號，讓 $ a:= -1.96\sigma $ 和 $ b := \mu - 0.5\sigma^2 $ . 如果兩者兼而有之，則書中的發展是合理的 $ a\sqrt{t} $ 和 $ bt $ 很小（接近於零），如果我們有 $ |a\sqrt{t}| > |bt| $ .

回想起那個

1. $ \exp (x+y)= \exp(x)\exp(y) $ ,
2. $ \exp(x)\approx 1 + x,\quad \text{if } x\approx 0 $ .

然後，使用這些屬性，我們有

$$ \begin{align} \exp (a\sqrt{t} + bt) &= \exp (a\sqrt{t}) \exp (bt)\ &\approx \exp (a\sqrt{t}) (1 + bt) \ &\approx \exp (a\sqrt{t}),\tag{1} \ &\approx 1 + a\sqrt{t}, \end{align} $$ 其中 (1) 中的近似值源於以下事實： $ bt $ （非常）接近於零。 事實是 $ bt $ 消失但沒有 $ a\sqrt{t} $ 來自這樣一個事實，他們可能認為 $ |a\sqrt{t}| > |bt| $ . 這個假設應該明確說明或從上下文中顯而易見（給定典型值 $ \sigma $ 和 $ \mu $ ).

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/8525