測度變化對參數值的影響
這是關於基於預付款的索賠的價格的後續問題。
考慮到期的零息債券 $ T $ 有價格 $ P_0 $ 借款人可以償還本金的 $ N $ 隨時 $ \tau $ 之間 $ 0 $ 排除和 $ T $ 包括。假設無風險利率不變 $ r $ ，該索賠的價格由其收益的風險中性期望給出：
$$ P_0 = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[N\left(\mathbb{I}{{\tau \leq T}}e^{-r\tau}+\mathbb{I}{{\tau>T}}e^{-rT}\right)\right] $$ 為停止時間建模 $ \tau $ ，我們引入一個齊次Poisson過程 $ N(t) $ 參數化 $ \lambda > 0 $ 這樣對於 $ t \in \mathbb{R}_+^* $ 和 $ n \in \mathbb{N} $ :
$$ \mathbb{P}(N(t) = n) = \frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t} $$ 讓 $ (\mathcal{F}t){t \geq 0} $ 是與過程相關的自然過濾 $ N(t) $ . 停車時間 $ \tau $ 關於過濾 $ (\mathcal{F}t){t \geq 0} $ 則定義為：
$$ \tau = \min {t>0 : N(t)>0 } $$ 我們推導出停止時間分佈：
$$ \begin{align} & \mathbb{P}(\tau > t) = \mathbb{P}(N(t) = 0) = e^{-\lambda t} \[8pt] & \mathbb{P}(\tau \leq t) = 1 - e^{-\lambda t} \end{align} $$ 因此，正如預期的那樣：
$$ \tau \sim \mathcal{E}(\lambda) $$ 現在，我的問題是關於改變措施的影響 $ - $ 來自真實世界的機率 $ \mathbb{P} $ 風險中性測度 $ \mathbb{Q} $ $ - $ 在參數上 $ \lambda $ . 例如，在 Black-Scholes 模型下，度量的規範變化會修改資產 $ S_t $ 飄離 $ \mu $ 至 $ r $ 但對擴散係數沒有任何影響 $ \sigma $ .
我對理論很熟悉，但對測量技術變化的實用性不是很熟悉，所以我真的不知道如何在這裡解決這個問題。有人可以解釋一下：
- 會有什麼影響 $ \lambda $ 當從 $ \mathbb{P} $ 至 $ \mathbb{Q} $ ?
- 上面是否充分說明了我的定價問題，還是應該有任何其他資訊來回答問題 1？
注意：如果您認為有影響*，請不要*發布推導，而是提示如何進行。
第一次嘗試：
風險中性度量的基本屬性是（Brigo & Mercurio，2007）：
任何資產的價格除以參考正數非股息支付資產（稱為計價）是與該計價相關的度量下的鞅（無漂移）。
現在，在我的設置中，我不太確定什麼會被視為“資產”：我的猜測是這將是Poisson過程 $ N(t) $ . 因此，讓 $ s<t $ 我們會有：
$$ \begin{align} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}N(t)|\mathcal{F}_s\right] & = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}N(s)|\mathcal{F}_s\right] + \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}(N(t)-N(s))|\mathcal{F}_s\right] \[10pt] & = e^{-rt}N(s) + \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}(N(t)-N(s))\right] \[10pt] & = e^{-rt}N(s) + e^{-rt}\lambda(t-s) \[10pt] & = e^{-rt}\left(N(s) + \lambda (t-s)\right) \end{align} $$ 第二步來自Poisson過程的獨立增量屬性。鑑於我們想要：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}N(t)|\mathcal{F}_s\right] = e^{-rs}N(s) $$ 我的印像是隱含的-即在風險中性措施下 - lambda 參數 $ \tilde{\lambda} $ 應該：
$$ \tilde{\lambda} \equiv \tilde{\lambda}(r,s,t) = N(s)\frac{e^{r(t-s)}-1}{t-s} $$ 想到幾個問題：
- 我的推理在這裡正確嗎？
- 根據過程定義參數是否有意義？我的猜測是沒有 $ \tilde{\lambda}(r,0,t) = 0 $ 因為 $ N(0)=0 $ …
- 從常數出發會不會造成問題 $ \lambda $ 在現實世界的測量下 $ \mathbb{P} $ 到一個功能 $ \tilde{\lambda}(r,s,t) $ 在現實世界的測量下 $ \mathbb{Q} $ ?
第二次嘗試：
使用相同的邏輯，我現在利用該屬性而不是補償Poisson過程是鞅：
$$ \begin{align} & N_c(t) \equiv N(t) - \lambda t \[10pt] & \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[N_c(t)|\mathcal{F}_s\right] = N_c(s) \end{align} $$ 但是，當我打折時，我（顯然）得到：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}N_c(t)|\mathcal{F}_s\right] = e^{-rt}N_c(s) $$ 因此我再次陷入困境。
理論
定義單一貨幣經濟體 $ N+1 $ 可交易資產。進一步假設對這些資產中的每一項進行單獨投資構成了一種自籌資金策略。簡單地說，這相當於考慮到我們模型經濟的資產不以股息或票息的形式分配資本。
讓 $ S_1, \dots, S_N $ 代表 $ N $ 風險資產和 $ S_0 $ 一個無風險的。一種常見的做法是選擇 $ S_0 $ 作為定義定價框架的參考資產。我們說 $ S_0 $ 被選為定價“numéraire”（但我們可以選擇任何其他交易資產價格作為 numéraire 而不失一般性）。
定價理論告訴我們，在沒有套利機會的情況下，
$$ S_{1,t}/S_{0,t}, \dots, S_{N,t}/S_{0,t} $$都應該在一個度量下作為鞅出現 $ \Bbb{Q} $ 相當於物理測量 $ \Bbb{P} $ 在此之下，我們觀察模型經濟中資產價格的實現。 直覺地說，這意味著所有資產相對於某些參考資產（numéraire）的相對價值需要是鞅，這是市場“公平演變”的模型。
因為我們選了 $ S_0 $ （無風險資產）作為 numéraire，衡量標準 $ \Bbb{Q} $ 被稱為風險中性度量。
你的問題
假設一個校長 $ N=1 $ 保持符號整潔。您有 2 個交易資產：
- 無風險資產， $ dP_t/P_t = r dt $
- 待定價的儀器， $ V_t $ , 其特徵在於其支付，即 1 個貨幣單位，並且在到期時發生 $ T $ 或者當某個事件發生在 $ \tau < T $ . 由於沒有套利，這意味著 $ V_\tau=1 $ 如果提前贖回，並且 $ V_T=1 $ 否則。
應用前面描述的定價理論 $ V_t/P_t $ （或者實際上這裡是停止的程序 $ V_t^\tau/P_t^\tau $ 但這是一個技術性）應該是一個鞅（另見最佳停止定理），即
$$ \begin{align} V_0 &= \Bbb{E}0^\Bbb{Q} \left[ V\tau/P_\tau \mathbb{I}{{\tau \leq T}} + V_T/P_T \mathbb{I}{{\tau > T}} \right] \ &= \Bbb{E}0^\Bbb{Q} \left[ e^{-r\tau} \mathbb{I}{{\tau \leq T}} + e^{-rT} \mathbb{I}_{{\tau > T}} \right] \end{align} $$ 評論
就您的附帶問題而言，一切都取決於計數過程的位置 $ N_t $ 介入。在您的情況下，它用於指定停止時間。因此它對於模型經濟的規範是外生的。這就是我們得出上述結論的原因 $ \lambda $ 下是一樣的 $ \Bbb{P} $ 和 $ \Bbb{Q} $ .
但是，人們可能會認為您的收益是“退化的”，從某種意義上說，我們可以建構一個更通用的版本，該版本將提供與其他資產的價值成正比的收益 $ S $ 而不僅僅是 $ 1 $ 貨幣單位。從那裡，讓我們進一步區分兩種情況：
- 情況1： $ dS_t/S_t = \mu dt + \sigma dW_t^\Bbb{P} $ . 應用前面描述的理論得到一個非常相似的定價方程，即： $$ V_0 = \Bbb{E}0^\Bbb{Q} \left[ e^{-r\tau} S{\tau} \mathbb{I}{{\tau \leq T}} + e^{-rT} S_T \mathbb{I}{{\tau > T}} \right] $$ 同樣，因為現在 $ S $ 也是一種交易資產，根據 $ \Bbb{Q} $ 你將擁有： $$ dS_t/S_t = r dt + \sigma dW_t^\Bbb{Q} $$ 這基本上是關係的 SDE 形式（參見鞅表示定理 + Itô 引理） $$ S_t/P_t \text{ is a } \Bbb{Q} \text{ martingale } $$
- 情況2： $ dS_t/S_t = \mu dt + \sigma dW_t^\Bbb{P} + J dN_t^\Bbb{P} $ . 現在您看到Poisson過程成為模型經濟（內生）中資產價格動態規範的一部分。在那種情況下，因為 $ S_t/P_t $ 應該是一個 $ \Bbb{Q} $ 在我們的定價框架中，我們有： $$ dS_t/S_t = (r-\lambda\Bbb{E}[J])dt + \sigma dW_t^\Bbb{Q} + J dN_t^\Bbb{Q} $$因此，風險資產的漂移確實會發生變化（Girsanov 定理 -> 布朗運動的漂移參數和Poisson過程的強度參數都會因測度的變化而改變）。還是， $$ V_0 = \Bbb{E}0^\Bbb{Q} \left[ e^{-r\tau} S{\tau} \mathbb{I}{{\tau \leq T}} + e^{-rT} S_T \mathbb{I}{{\tau > T}} \right] $$ 但現在 $ S_t $ 具有與情況 1 不同的動態。