定價
債券期貨定價公式
有沒有人能幫我理解為什麼 $ P_t(S) $ 出現在以下問題的解決方案中；推導出債券遠期合約的價格？
謝謝你
給定：
- $ r_t $ , 瞬時速率過程
- $ P_t(T) $ ，零息債券的價格為 $ t $ 並到期 $ T $
- $ F_t(S,T) $ , 價格在 $ t $ 遠期到期 $ S\leq T $
- $ B_S(T) $ , 價格在 $ S $ 附息債券的到期日為 $ T>t $
做多遠期的回報是 $ B_S(T)-F_t(S,T) $ ，並且該頭寸在開始時是無成本的，因此，在沒有套利的情況下，遠期滿足
$ F_t(S,T)=\frac{1}{P_t(S)}\mathbb{E}t\left(e^{-\int_t^Sr\tau d\tau} B_S(T)\right) $
在哪裡 $ \mathbb{E}_t $ 表示期望
我假設遠期合約到期 $ S $ 和 $ 0 \leq t < S < T. $ 讓 $ F_t(S,T) $ 是使遠期合約當時價值為零的價格 $ t $ . 然後通過風險中性估值公式我們得到 $$ 0= \mathbb E^{\mathbb Q} \left[(B_S(T) - F_t(S,T))e^{-\int_t^S r(u)du} | \mathcal F_t \right]. $$ 自從 $ F_t(S,T))e^{-\int_t^S r(u)du} $ 是 $ \mathcal F_t $ - 可測量的， $$ F_t(S,T)=e^{\int_t^S r(u)du} \mathbb E^{\mathbb Q} \left[B_S(T)e^{-\int_t^S r(u)du} | \mathcal F_t \right]. $$在風險中性機率測度下 $ \mathbb Q $ 貼現的軸承債券是鞅，所以 $$ F_t(S,T)=e^{\int_t^S r(u)du} B_t(T)=\frac{1}{P_t(S)}B_t(T). $$