免費生成在底層證券的變化中呈線性的損益
我實際上正在閱讀 Lorenzo Bergomi 的“隨機波動率建模”一書，並遇到了這一點：
我理解包括（5.5）在內的所有內容。但我不認為提及消失的定價漂移有什麼意義。什麼是“定價漂移”？之後，他定義了連續（實際上是瞬時的）VS 前向變異數並寫道它們也是無漂移的（與離散 VS 前向變異數相同的論點），並寫道在擴散設置中它們等於 $ \left(\ldots\right) dW_t^T $ 我猜在哪裡 $ W^T $ 是前向下的標準布朗運動 $ T $ 措施。
定價漂移是在擴散設置之外定義的，還是這裡的一切都發生在擴散設置中？（“在擴散環境中”令人不安。）
貝爾戈米關於定價漂移的評論一般是什麼？我的意思是，有沒有辦法通過某個損益的線性來定義為鞅？
簡短的回答
他基本上將遠期變異數交易和期貨交易相提並論。在這兩種情況下，您都應該知道基礎報價在沒有套利的情況下是鞅。
長（呃）答案
在物理測量下 $ \Bbb{P} $ , 套利是一種（自籌資金的）交易策略 $ V $ - 或者更確切地說是實施該策略的投資組合的價值 - 存在時間 $ T > 0 $ 這樣
$$ V_0=0,,, V_T \geq 0,, \Bbb{P}-\text{a.s. and } \Bbb{P}(V_T \ne 0) > 0 $$ 假設您定義了一個等效機率測度 $ \Bbb{Q}\equiv\Bbb{P} $ . 由於根據定義，兩種度量都同意無效事件，我們的套利定義轉化為
$$ V_0=0,,, V_T \geq 0,, \Bbb{Q}-\text{a.s. and } \Bbb{Q}(V_T \ne 0) > 0 \tag{A} $$ 請注意，如果 $ \Bbb{Q} $ 是進一步的鞅測度，即如果 $ (V_t)_{t\geq0} $ 作為一個出現 $ \Bbb{Q} $ -鞅：
$$ V_0 = \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} [ V_T ] $$ 然後 $ (A) $ 永遠不會發生。這解釋了等價鞅測度在套利定價理論中的核心作用。 回到上下文中，您已經設法確定了一種（自籌資金）策略（即買賣遠期變異數掉期），該策略是免費的（ $ V_t=0 $ )，允許您賺取數量
$$ V_{t’} = (T_2-T_1) \left( \hat{\sigma}{VS,T_1T_2}^2(t’) - \hat{\sigma}{VS,T_1T_2}^2(t)\right) $$ 根據我們之前所說，在沒有套利的情況下，應該有一個衡量標準 $ \Bbb{Q} \equiv \Bbb{P} $ 這樣
$$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}{t}[V{t’}] = V_t $$ 因此，使用 $ V_t $ 和 $ V_{t’} $ , $$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}{t}\left[ \hat{\sigma}{VS,T_1T_2}^2(t’) \right] = \hat{\sigma}{VS,T_1T_2}^2(t) $$ 因此遠期變異數掉期報價是鞅。假設一個連續路徑過程（=在擴散設置中），根據鞅表示定理，我們應該有 $$ \hat{\sigma}{VS,T_1T_2}^2(t) = … dW_t^\Bbb{Q} $$ 因此沒有價格漂移 $ \Bbb{Q} $ .