CMS定價波動方程的問題
在“CMS 凸性的全部含義（Cedervall 和 Piterbarg，2012）”，又名“CMS：覆蓋所有基礎（同上）”中，作者開發了一個配備年金映射函式的 CMS 模型，該函式可以擷取正態波動率 $ \sigma_i $ 和相關性 $ \rho_{i,j} $ 對於一組掉期利率 $ S_1,\dots,S_n $ 男高音 $ T_1,\dots,T_n $ 來自交換微笑模型。我們對寫在掉期利率上的衍生工具感興趣 $ S_n $ .
讓 $ S_i(T) $ 是期限的互換利率 $ T_i $ 有時 $ T $ ，作者使用單因素對數正態模型：
$$ 1+\delta_iS_i(T)=(1+\delta_iS_i(0))e^{\mu_i+\nu_i\sqrt{T}X} $$ 在哪裡 $ X\sim\mathcal{N}(0,1) $ 和 $ \delta_i $ 是期限互換的浮動腿應計因子 $ T_i $ . 然後文章說：
參數 $ \nu_i $ 在
$$ the equation above $$ 可以通過預測利率與正常波動率和相關性聯繫起來 $$ i.e. computing the expectation of one rate conditional on the other rate $$:" $$ \nu_i\triangleq\frac{\color{blue}{\delta_i}}{1+\delta_iS_i(0)}\sigma_i\rho_{n,i} $$
現在，我明白如果我們假設一個二因子高斯模型，那麼：
$$ \begin{align} \text{d}S_n(t)&=\sigma_n\text{d}W_t \[3pt] \text{d}S_i(t)&=\sigma_i\left(\rho_{n,i}\text{d}W_t+\sqrt{1-\rho_{n,i}^2}\text{d}\tilde{W}_t\right) \end{align} $$ 在哪裡 $ W_t $ 和 $ \tilde{W}_t $ 是兩個獨立的布朗運動，我們得到：
$$ E\left(S_i(T)|W_T\right)=S_i(0)+\sigma_i\rho_{n,i}W_T $$ 如果我們現在假設一個風險因素，那麼 $ S_i(T) $ 是 $ \sigma_i\rho_{n,i}\sqrt{T} $ $ - $ 這基本上是從交換微笑模型中擷取相關資訊的技巧 $ - $ 並使用以下事實：
$$ \sigma_{\text{Normal}}\approx\sigma_{\text{Log Normal}}\times \text{Spot} $$ 我們設置：
$$ \nu_i\triangleq\frac{1}{1+\delta_iS_i(0)}\sigma_i\rho_{n,i} $$ 但我不明白應計因素從何而來。有人明白它是如何結束的嗎？
讓 $ X_i(t) = 1+\delta_i S_i(t) $ . 然後 $ \nu_i $ 是對數正態波動率 $ X_i(t) $ ，並且因為 $ dX_i(t) = \color{blue}{\delta_i} dS_i(t) $ 我們得到 $ \nu_i X_i(t) dW_t = \color{blue}{\delta_i} \sigma_i \rho_{n,i} dW_t $ 和 $ \nu_i \approx (\color{blue}{\delta_i} \sigma_i \rho_{n,i} ) / X_i(0) $ .