複製具有離散股息的股票債權的投資組合

這是一個考試的練習題：

5. 考慮一個由具有恆定利率的銀行賬戶組成的市場 $ r $ 和一隻股票 $ S $ . 股票支付一定比例的紅利 $ \delta S(T_{0-}) $ 有時 $ T_0 $ . 考慮一個 $ T $ - 支付的索賠 $ X = S(T) $ 有時 $ T $ ， 在哪裡 $ T > T_0 $ .

a) 什麼是無套利價格 $ X $ 有時 $ 0 $ ?

b) 找到一個複制策略 $ X $

對於第一個問題，如果我們假設股票的波動率是恆定的（即 Black-Scholes），那麼我們有關係

$$ \Pi_{\delta}(t,s) = \Pi(t,(1-\delta)s) $$ 在哪裡 $ \Pi_{\delta},\Pi $ 分別是對有股息和無股息的標的債權的定價函式，並且由於債權的價格 $ X=S(T) $ （在非股息情況下）很簡單 $ \Pi(t) = s $ ， 在哪裡 $ S(t) = s $ ，我們得到

$$ \Pi_{\delta}(t,s) = s(1-\delta) $$ 對所有人 $ t $ . 我現在的問題是，假設布萊克斯科爾斯模型成立是否合理？我不知道如何處理它，有沒有辦法更普遍地做到這一點？

對於第二個問題，我認為我們可以在 $ t=0 $ , 和短 $ \delta $ 股票的單位。當時 $ T_0 $ 我們可以使用股息來結算我們的空頭頭寸，因此投資組合將準確支付 $ S(T) $ 有時 $ T $ . 那有意義嗎？

a) 從無套利條件，不訴諸特定模型

$$ PV[S(T)|S(T_0)] = S(T_0) $$ $$ S(T_0) = (1-\delta) S(T_0^-) $$ $$ PV[S(T_0^-)|S(0)] = S(0) $$ 因此 PV 的 $ X $ 有時 $ 0 $ 是 $$ PV[S(T)|S(0)] = PV[S(T_0)|S(0)] = PV[(1-\delta) S(T_0^-)|S(0)] = (1-\delta) S(0) $$ b)

• 上 $ t=0 $ 你買 $ 1-\delta $ 庫存單位
• 上 $ t=T_0 $ 您獲得的總股息金額為 $ (1-\delta) \delta S(T_0^-) $ 您用來購買額外的 $ (1-\delta) \delta S(T_0^-)/S(T_0) = \delta $ 庫存單位，讓您現在持有 $ 1-\delta + \delta=1 $ 庫存單位
• 上 $ t=T $ 你賣你的 $ 1 $ 複製收益的股票單位 $ X $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/37612