兩種不同的定價方式導致兩個答案
這個問題對許多人來說可能看起來微不足道（考慮到這個網站上的問題），但我認為它反映了我所缺少的一些基本的東西。
為簡單起見，假設每個人都是風險中性的並且沒有通貨膨脹等，因此價格是使用預期值確定的。
讓我們在第 0 年。考慮在第 1 年支付 1美元和在第 2 年支付 1美元的資產。讓 $ r_{01} $ 和 $ r_{02} $ 分別表示（年復合）1 年期即期匯率和 2 年期即期匯率。對該資產定價的標準教科書方法是：
$$ P_0 = \frac{1}{1+r_{01}} + \frac{1}{(1+r_{02})^2} $$ 這是一種似乎合理的替代方法。我們有 $ P_0 = \frac{1}{1+r_{01}} + \frac{E[P_1]}{1+r_{01}} $ 在哪裡 $ P_1 $ 是資產在第 1 年的預期價格。在時間 0， $ P_1 $ 仍然是一個隨機變數，它由下式計算 $ P_1 = \frac{1}{1+r_{12}} $ 在哪裡 $ r_{12} $ 是我們在第 1 年時的一年期即期匯率（因此這是第 0 年的隨機變數）。在這種情況下，
$$ P_0 = \frac{1}{1+r_{01}} + \frac{E[P_1]}{1+r_{01}} = \frac{1}{1+r_{01}} + E\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right)\frac{1}{1+r_{01}} $$ 如果這兩種定價方法要相等，那麼需要
$$ \frac{1}{(1+r_{02})^2} = E\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right)\frac{1}{1+r_{01}} $$ 在我看來，情況並非如此。事實上，我認為情況是這樣的 $ (1+r_{01})E(1+r_{12})=(1+r_{02})^2 $
$$ by considering the expected amount $1 under a two-year strip or rollover one-year strips will earn; if LHS>RHS, then borrow $1 cash using $(1+r_{02})^2$ units of 2-year strips and lend out all that cash on $1+r_{01}$ units of 1-year strips and lent out all earnings again at end of year 1 on $(1+r_{01})(1+r_{12})$ units of 1-year strip to make profit in year 2 in expectation $$. 自從 $ E(1/X)\neq 1/E(X) $ 一般來說，這兩種定價方法不能產生相同的結果。我該如何解決這個矛盾？
$$ \frac{1}{(1+r_{02})^2} = E\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right)\frac{1}{1+r_{01}} $$ 事實上，在定價措施中， $ r_{12} $ 必須使這種關係成立。
如果您查看 LIBOR 市場模型的漂移推導，則需要做大量工作才能使這種等式成立。
這裡沒有衝突。在身份上，
$$ \begin{align*} \frac{1}{(1+r_{02})^2} = E\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right)\frac{1}{1+r_{01}}, \end{align*} $$ 預期低於第一年的遠期指標。然而，在身份$$ \begin{align*} (1+r_{01})E(1+r_{12})=(1+r_{02})^2, \end{align*} $$ 預期低於第 2 年的遠期指標。 為了說明，讓 $ P(t, u) $ 成為當時的價格 $ t $ 到期的零息債券 $ u $ 和單位面值。此外，讓 $ B_t $ 是當時的貨幣市場賬戶（或存款賬戶）價值 $ t $ . 對於符號，讓 $ T_1=1 $ 和 $ T_2=2 $ . 然後
$$ \begin{align*} r_{12} &\triangleq L(T_1; T_1, T_2)\ &=\frac{1}{T_2-T_1}\left(\frac{P(T_1, T_1)}{P(T_1, T_2)}-1\right)\ &=\frac{1}{P(T_1, T_2)}-1. \end{align*} $$ 我們還注意到 $ P(0, T_1) = \frac{1}{1+r_{01}}, $ 和 $ P(0, T_2) = \frac{1}{(1+r_{02})^2}. $ 讓 $ E $ , $ E_1 $ ， 和 $ E_2 $ 分別為風險中性測度下的期望運算元 $ P $ , 第 1 年遠期測度 $ P_1 $ 和第 2 年的遠期措施 $ P_2 $ . 眾所周知，該過程 $ {L(t; T_1, T_2) \mid 0\leq t \leq T_1 } $ 是第 2 年遠期測度下的鞅。然後
$$ \begin{align*} E_2(1+r_{12}) &= E_2(1+L(T_1; T_1, T_2))\ &= 1+ L(0; T_1, T_2)\ &= \frac{P(0, T_1)}{P(0, T_2)}\ &= \frac{(1+r_{02})^2}{1+r_{01}}. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} (1+r_{01})E_2(1+r_{12})=(1+r_{02})^2. \end{align*} $$ 另一方面，請注意，對於 $ 0 \leq t \leq T_1 $ ,
$$ \begin{align*} \frac{dP}{dP_1}\big|t = \frac{B_t P(0, T_1)}{P(t, T_1)}. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} \frac{1}{(1+r{02})^2} &= P(0, T_2)\ &= E\left(\frac{1}{B_{T_2}}\right)\ &= E\left(\frac{1}{B_{T_1}}E\left(\frac{B_{T_1}}{B_{T_2}} \mid \mathcal{F}{T_1}\right)\right)\ &= E\left(\frac{1}{B{T_1}} P(T_1, T_2)\right)\ &= E_1\left(\frac{dP}{dP_1}\big|{T_1} \frac{1}{B{T_1}} P(T_1, T_2)\right)\ &= P(0, T_1)E_1(P(T_1, T_2))\ &= P(0, T_1)E_1\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right)\ &= \frac{1}{1+r_{01}}E_1\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathcal{F}{T_1} $ 是時間設置的資訊 $ T_1 $ . 那是， $$ \begin{align*} \frac{1}{(1+r{02})^2} = E_1\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right)\frac{1}{1+r_{01}}. \end{align*} $$ 編輯：最後一個身份也可以通過前向測量之間的測量變化來顯示 $ P_1 $ 和 $ P_2 $ . 具體來說，對於 $ 0 \leq t \leq T_1 $ ,
$$ \begin{align*} \frac{dP_1}{dP_2}\big|t = \frac{P(t, T_1)P(0, T_2)}{P(t, T_2)P(0, T_1)}. \end{align*} $$ 最後， $$ \begin{align*} E_1\left(\frac{1}{1+r{12}}\right) &= E_1\left(P(T_1, T_2)\right)\ &= E_2\left(\frac{dP_1}{dP_2}\big|{T_1} P(T_1, T_2)\right)\ &= \frac{P(0, T_2)}{P(0, T_1)}\ &= \frac{1+r{01}}{(1+r_{02})^2}. \end{align*} $$