為什麼我們需要將市場和預設資訊分成 2 個單獨的過濾器？
對具有信用風險的衍生品建模的簡化形式通常假設存在兩種過濾：
- 市場過濾 $ (\mathscr{F}t){t\geq0} $ 攜帶市場和經濟資訊（例如股票價格或利率）；和
- 預設過濾 $ (\mathscr{H}t){t\geq0} $ 攜帶範圍內交易對手違約時間的資訊。
然後在完全過濾下進行定價 $ (\mathscr{G}t){t\geq0} $ 定義為： $$ \forall t\geq 0, \quad\mathscr{G}_t:=\mathscr{F}_t\vee\mathscr{H}_t $$ **為什麼我們需要將資訊分成兩個單獨的過濾器？或者，該框架在哪些建模假設下是必要的？大多數關於具有信用風險的債權定價的論文很容易提出（H）假設：任何 $ \mathscr{F}_t $ -馬丁格爾仍然是 $ \mathscr{G}_t $ -鞅。我想知道，這種複雜的設置有什麼意義？一定有特定的技術原因，但我還沒有找到任何明確說明的論文。
作為魔鬼的擁護者(1)，讓我們考慮一個具有以下特徵的市場：
- 市場包括交易資產 $ S $ 由布朗運動驅動 $ (W_t)_{t\geq0} $ .
- 存在預設程序 $ H_t:=\pmb{1}_{{\tau\geq t}} $ ， 在哪裡 $ \tau $ 是預設時間。
- 存在確定性風險率 $ \gamma_t $ 它指定了預設程序的分佈。
- 資產價格和違約時間是獨立的。
- 市場賦於單一過濾 $ (\mathscr{F}t){t\geq0} $ 由產生 $ W_t $ 和 $ H_t $ .
我們要定價 $ \mathscr{F}T $ - 可衡量的或有債權 $ \xi $ 寫在資產上 $ S $ 並承受信用風險， $ T>t $ . 然後： $$ \begin{align} V_t&=E\left(\left.\xi\pmb{1}{{\tau>T}}\right|\mathscr{F}_t\right) \ &=E\left(\left.\xi\right|\mathscr{F}t\right) E\left(\left.\pmb{1}{{\tau>T}}\right|\mathscr{F}_t\right) \ &=\upsilon_t \left(1-P\left(\left.\tau\leq T\right|\mathscr{F}_t\right)\right) \[2.5pt] &=\upsilon_te^{\Gamma_t-\Gamma_T} \end{align} $$ 在哪裡 $ V $ （分別。 $ \upsilon $ ) 是債權的可違約（分別是無風險）價值，並且 $ \Gamma_t $ 定義為： $$ \Gamma_t:=\int_0^t\gamma_s\text{d}s $$ 我認為此設置沒有任何問題。
(1) 編輯：我最初的例子是錯誤的，我錯誤地使用了塔定律來給出嵌套的條件期望 $ \mathscr{F}_t $ 包含兩者的資訊 $ W_t $ 和 $ H_t $ 因此 $ \mathscr{F}_t\notin\sigma(W_s, s\leq T) $ . 我已經修改了範例以包含獨立性假設，但問題仍然存在：我們何時以及為什麼需要具有兩個過濾的設置？
如果危險率是確定性的，我認為你是絕對正確的，儘管我認為你在你的例子中忘記了一個折扣因素。但有時不能假定危險率是確定性的（例如，在為 CVA 和 DVA 定價時）。這裡假設危險率本身遵循隨機過程，因此 $ \mathbf{1}_{{\tau>t}} $ 是 Cox 過程中的第一個跳躍。
通常假設危險率遵循 Cox-Ingersoll-Ross 過程（或對此的擴展），這是 SDE 的均值回復平方根擴散過程 $$ d \gamma_t=\kappa(\theta-\gamma_t)dt+\sigma\sqrt{\gamma_t}dW_t $$ 帶 Feller 約束 $ 2\kappa\theta\geq \sigma^2 $ 確保源不可訪問強制 $ \gamma_t>0 $ 對所有人 $ t $ .
一般來說，假設危險率適應於（無預設）市場變數產生的過濾： $ \mathscr{F}t $ . 以此資訊為條件的時間之間的跳躍次數 $ s<t $ 是Poisson和機率 $ n $ 因此，跳躍由下式給出 $$ \frac{\left(\Gamma{t}-\Gamma_{s}\right)^{n}}{n!}e^{-\left(\Gamma_{t}-\Gamma_{s}\right)} $$ 因此，零跳躍（無預設）的機率由下式給出 $ e^{-\left(\Gamma_{t}-\Gamma_{s}\right)} $ .
表示 $ D(t,T)=e^{-\int_t^Tr_u du} $ 使得風險中性估值 $ \xi $ 變成 $$ \tag{1}V_t=\mathbb{E}\left[D(t,T)\cdot\xi\cdot \mathbf{1}{{\tau>T}}\middle|\mathscr{G}t\right] $$ 注意 $$ \tag{2}\mathbb{E}\left[\mathbf{1}{{\tau>T}}\middle|\mathscr{F}T\vee\mathscr{H}t\right]=\mathbf{1}{{\tau>t}}e^{-\left(\Gamma_T-\Gamma_t\right)} $$ 請注意，完全過濾的調節只會產生 $ \mathbb{E}\left[\mathbf{1}{{\tau>T}}\middle| \mathscr{G}T\right]=\mathbf{1}{{\tau>T}} $ ，這不會簡化表達式。這意味著我們可以通過利用塔屬性來簡化風險中性估值 $$ \begin{align*} V_t&=\mathbb{E}\left[D(t,T)\cdot\xi \cdot\mathbb{E}\left[\mathbf{1}{{\tau>T}}\middle|\mathscr{F}T\vee\mathscr{H}t\right]\middle|\mathscr{G}t\right]\ &=\mathbb{E}\left[D(t,T)\cdot\xi \cdot\mathbf{1}{{\tau>t}}e^{-\left(\Gamma_T-\Gamma_t\right)}\middle|\mathscr{G}t\right]\ &=\mathbf{1}{{\tau>t}}\mathbb{E}\left[D(t,T)\cdot\xi \cdot e^{-\left(\Gamma_T-\Gamma_t\right)}\middle|\mathscr{G}t\right]\ \tag{3} &=\mathbf{1}{{\tau>t}}\mathbb{E}\left[D(t,T)\cdot\xi \cdot e^{-\left(\Gamma_T-\Gamma_t\right)}\middle|\mathscr{F}t\right] \end{align*} $$ 倒數第二個相等是由於 $ \mathbf{1}{{\tau>t}} $ 存在 $ \mathscr{G}{t} $ -measurable 和最後一個相等是由於期望不再依賴於預設資訊。為了進一步簡化，我們可以假設貼現因子之間的獨立性， $ T $ -索賠和獲得的風險率 $$ V{t}=\mathbf{1}{{\tau>t}}P(t,T)v{t}\mathbb{E}\left[ e^{-\left(\Gamma_T-\Gamma_t\right)}\middle|\mathscr{F}_t\right] $$ 在哪裡 $ P(t,T) $ 是零息債券，期望是不違約的機率 $ t $ 和 $ T $ . 例如，這種機率可以從相關信用違約掉期的價差中剔除。
如果我們不能假設獨立性（例如當存在錯誤方式風險時），則必須假設風險率的隨機動態。因此使用兩種不同過濾的原因是能夠在危險率是隨機的情況下簡化期望。