我們可以對屬於同一類的分佈函式的隨機優勢進行排名嗎？
我正在處理的實際分佈並不均勻，但為了簡單起見，考慮兩個均勻分佈，一個在
$$ 1, 2 $$另一個在$$ 0,2 $$. 我們可以說第一個 FOSD 是第二個嗎？此外，如果我們在$$ b, 2 $$，我們可以說他們的 FOSD 隨 b 增加嗎？如果不是，那麼是什麼概念捕捉到了該屬性？
讓 $ X_b $ 一個隨機變數均勻分佈在 $ [b,2] $ 和 $ b<2 $ . 對於每一個 $ x\in\mathbb{R} $ , $$ \mathbb{P}[X_b\geq x]=\begin{cases} 0\text{ if }x>2\ \frac{2-x}{2-b}\text{ if } b\leq x\leq 2\ 1\text{ if }x<b. \end{cases} $$ 顯然，這個機率在增加 $ b $ . 所以 $ b>b’ $ 暗示 $ X_b $ 一階隨機占主導地位 $ X_{b’} $ 為了 $ b $ 和 $ b’ $ 都小於 $ 2 $ .
您所說的“屬於同一類的分佈函式”並不完全清楚。考慮一個隨機變數 $ \widehat X $ 在某些支持下具有任意分佈 $ [\underline x,\overline x] $ . 然後我們可以將支持標準化為 $ [0,1] $ 通過查看 $ X=\frac{\widehat X-\underline x}{\overline x-\underline x} $ 然後讓 $ F $ 是對應的cdf。你想看看條件隨機變數 $ X\geq b $ FOSD $ X $ ? 答案是肯定的。
我們可以表示 $ X\geq b $ 作為 $ \frac{F(x)-F(b)}{1-F(b)} $ 對所有人 $ x \in [b,1] $ .
然後我們有， $$ F(x) \geq \frac{F(x)-F(b)}{1-F(b)} \quad \forall x \in [b,1] \mbox{ and } \forall b \in (0,1), $$ 而且，我們有 $$ \frac{F(x)-F(b’)}{1-F(b’)} \geq \frac{F(x)-F(b)}{1-F(b)} \quad \forall x \in [b,1] \mbox{ if } b>b’ . $$
因此，分佈（或隨機變數）具有一些 $ b $ FOSD 具有較低的分佈 $ b’< b $ .