“金融市場的數學方法”第 2 章的一個問題

練習 2.3.1.5：期權的收益是 $ h(S_T) $ , 其中函式 h 由下式給出 $ h(x) = x^\beta(x-K)^+ $ . 證明收益可以寫成標的資產的歐式收益之差 $ S^{\beta+1} $ 和 $ S^\beta $ 罷工取決於 K 和 $ \beta $ .

我們有，

$$ h(x) = x^\beta(x-K)^+ = x^\beta (x - K) , \mathbf{1}{[x>K]} $$ 這樣我們得到， $$ h(x) = x^{\beta+1}\mathbf{1}{[x>K]} - K,x^{\beta}\mathbf{1}_{[x>K]} $$ 現在 $ x \in [x>K] $ 當且僅當 $ x \in [x^{\beta}>K^{\beta}] $ 所以，

$$ h(x) = x^{\beta+1}\mathbf{1}{[x^{\beta + 1}>K^{\beta + 1}]} - K,x^{\beta}\mathbf{1}{[x^{\beta}>K^{\beta}]} $$ 因此，如果我們讓 $ \Phi_\text{Asset-or-nothing}^\text{dig} $ 資產或無二元歐洲呼叫的合約函式。我們可以寫：

$$ h(S_t) =\Phi_\text{Asset-or-nothing}^\text{dig}(S_{t}^{\beta + 1},K^{\beta + 1}) - K ,\Phi_\text{Asset-or-nothing}^\text{dig}(S_{t}^{\beta}, K^{\beta}) $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/9735