兩個獨立的利維分佈隨機變數之和的機率密度函式？
我在數學堆棧交換中發布了以下問題 https://math.stackexchange.com/posts/2762047/edit 這是文本：
證明兩個獨立的 Levy 之和是分佈的（有參數 $ c $ ) 隨機變數也有帶參數的 Levy 分佈 $ 4c $ .
證明構想 通過 Levy-Khitchine 定理可以推導出 Levy 分佈的特徵函式，然後應用傅里葉逆變換。
我的問題是，是否有一種更直覺、計算量更少的方法來推斷 Levy 分佈？
徵費分配：
$ p(x) = \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\frac{e^{-\frac{c}{2x}}}{x^{3/2}} $
你的方法聽起來不錯，但不需要計算傅里葉逆變換。
帶參數的 Levy 分佈隨機變數的特徵函式 $ c $ 是（誰）給的
$$ \begin{equation} \phi(\omega; c) = \exp \left{ -\sqrt{-2 \mathrm{i} c t} \right}. \end{equation} $$ 因此，兩個 iid Levy 分佈隨機變數之和的特徵函式 $ X $ 和 $ Y $ , 具有特徵函式
$$ \begin{equation} \mathbb{E} \left[ e^{\mathrm{i} \omega (X + Y)} \right] = \mathbb{E} \left[ e^{\mathrm{i} \omega X} \right] \mathbb{E} \left[ e^{\mathrm{i} \omega Y} \right] = \left( \mathbb{E} \left[ e^{\mathrm{i} \omega X} \right] \right)^2, \end{equation} $$ 其中第一個相等來自獨立，第二個來自獨立 $ X $ 和 $ Y $ 同分佈。我們得到
$$ \begin{equation} \ldots = \exp \left{ -2 \sqrt{-2 \mathrm{i} c t} \right} = \exp \left{ -\sqrt{-2 \mathrm{i} (4 c) t} \right} = \phi(\omega; 4c). \end{equation} $$ 這足以得出結論 $ X + Y $ 是 Levy 分佈的參數 $ 4c $ .