CES實用程序的直覺
假設一個（對稱的）CES效用函式$$ U(\mathbf{x})=\left[\int_{\Omega}\left(x_{\omega}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d \omega\right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}, \sigma>1 $$
1 間接效用函式是 $ U\left(\frac{\mathbf{p}}{h}\right)=\left[\int_{\Omega}\left(\frac{p_{\omega}}{h}\right)^{1-\sigma} d \omega\right]^{\frac{1}{\sigma-1}}=\frac{h}{P(\mathbf{p})} $ 在哪裡 $ h $ 表示支出和 $ P $ 是價格指數。如何直覺地理解這種間接效用，尤其是 $ \frac{p_{\omega}}{h} $ ?
2 CES 實用程序具有直接顯式可加性的性質，即 $ U(\mathbf{x})=M\left[\int_{\Omega} u\left(x_{\omega}\right) d \omega\right] $ ， 在哪裡 $ M[\cdot] $ 表示單調變換。這個屬性強加了一個強大的限制，即一種商品的收入彈性必須與該商品的價格彈性成正比（即庇古定律），這被認為太強而被經驗拒絕。直接顯式可加性與此限制之間的聯繫背後的直覺是什麼？
3 標準同位 CES 是唯一同時滿足直接顯式可加性和間接顯式可加性的偏好。間接顯式可加性，即 $ U\left(\frac{\mathbf{p}}{h}\right)=M\left[\int_{\Omega} v\left(\frac{p_{\omega}}{h}\right) d \omega\right] $ ，再次在收入彈性和商品價格彈性之間施加與直接顯式可加性類似的限制。如何直覺地理解這一點？
4 在直接顯式可加性或間接顯式可加性下，只有類比偏好可以是 CES。直覺是什麼？
這將是一個很長的答案，我不完全確定它是否會回答你的問題，因為我將主要關注自身和交叉價格彈性的推導。大多數推導也可以在Houthakker (1960)，“Additive Preferences”中找到
TLDR：
- 如果效用函式是加法可分的，並且商品的份額很小，那麼確實自身的價格彈性與收入彈性成正比。交叉價格彈性（針對不同商品）的比率與收入彈性成正比。
- 如果間接效用函式是加法可分的，我無法證明自身的價格彈性與收入彈性成正比。交叉價格彈性（跨不同商品）的比率是恆定的。
- 如果直接效用函式和間接效用函式都是加法可分的，則恩格爾曲線是線性的。
加法分離性
讓我們從一個加法可分的效用函式開始。對於效用函式 $ u $ 讓我們寫 $ u_i = \dfrac{\partial u}{\partial x_i} $ 和 $ u_{i,j} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_k} $ . 從可加性，我們有如果 $ i \ne k $ 然後 $ u_{i,k} = 0 $ .
以下條件給出一階條件和預算約束： $$ u_i = p_i\lambda,\ \sum_i p_i x_i = \mu $$ 區別於 $ p_k $ ( $ k \ne i $ ), $ p_i $ 和 $ \mu $ 給出以下5個條件： $$ \begin{align*} &u_{ii} \frac{\partial x_i}{\partial p_k} = p_i \frac{\partial \lambda}{\partial p_k}, \tag {1}\ &u_{ii} \frac{\partial x_i}{\partial p_i} = \lambda + p_i \frac{\partial \lambda}{\partial p_i}, \tag{2}\ &u_{ii} \frac{\partial x_i}{\partial \mu} = p_i \frac{\partial \lambda}{\partial \mu}, \tag{3}\ &\sum_i p_i \frac{\partial x_i}{\partial p_k} = - x_k, \tag{4}\ & \sum_i p_i \frac{\partial x_i}{\partial \mu} = 1. \tag{5} \end{align*} $$ 健康）狀況 $ (4) $ 和 $ (5) $ 是古諾和恩格爾聚合。然後代入 $ (1) $ 和 $ (2) $ 在 $ (4) $ 和 $ (3) $ 在 $ (5) $ 給出： $$ \begin{align*} &\sum_i p_i p_i \frac{\partial \lambda}{\partial p_k}\frac{1}{u_{ii}} + p_k p_k \frac{\lambda}{u_{kk}} = - x_k,\ \to &\frac{\partial \lambda}{\partial p_k} \sum_i \frac{(p_i)^2}{u_{ii}} = - x_k - (p_k)^2 \frac{\lambda}{u_{kk}}. \tag{6}\ &\sum_i p_i p_i \frac{\partial \lambda}{\partial \mu} \frac{1}{u_{ii}} = 1,\ \to & \frac{\partial \lambda}{\partial \mu} \sum_i (p_i)^2 \frac{1}{u_{ii}} = 1. \tag{7} \end{align*} $$ 結合 $ (6) $ 和 $ (7) $ 和…一起 $ (3) $ 給出： $$ \begin{align*} \frac{\partial \lambda}{\partial p_k} &= \frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\left(-x_k - (p_k)^2 \frac{\lambda}{u_{kk}}\right),\ &= \frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\left(-x_k - \frac{\lambda}{\frac{\partial \lambda}{\partial \mu}} p_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right),\ &= \frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\left(-x_k - \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right) \end{align*} $$ 在哪裡： $$ \chi = \frac{\lambda}{\dfrac{\partial \lambda}{\partial \mu}} $$ 這被稱為貨幣靈活性（根據 Houthakker 的說法）。
將其代入 $ (1) $ 並使用 $ (3) $ , 我們得到 $ i \ne k $ : $$ \begin{align*} \frac{\partial x_i}{\partial p_k} &= \frac{1}{u_{ii}} p_i \frac{\partial \lambda}{\partial p_k},\ &=\frac{1}{u_{ii}} p_i \frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\left( - x_k - \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right),\ &= \frac{\partial x_i}{\partial \mu}\left(-x_k - \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right) \tag{a} \end{align*} $$ 然後從 $ (4) $ （並使用 $ (5) $ ) 我們可以計算自己的價格彈性： $$ \begin{align*} p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} &= -x_k - \sum_{j \ne k} p_j\frac{\partial x_j}{\partial p_k},\ &= - x_k - \sum_{j \ne k} p_j \frac{\partial x_j}{\partial \mu}\left(-x_k - \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right),\ &= - x_k + \left(x_k + \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right) \left(\sum_{j \ne k} p_j \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right),\ &= - x_k + \left(x_k + \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right)\left(1 - p_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right),\ &= -x_k + x_k - p_k x_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu} + \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu} -\chi p_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu} \frac{\partial x_k}{\partial \mu},\ &= \frac{\partial x_k}{\partial \mu} \left(-p_k x_k + \chi\left(1 - p_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right)\right) \end{align*} $$ 兩邊除以 $ x_k $ ，我們可以用彈性術語表示： $$ \begin{align*} \varepsilon^k_k &= \varepsilon^k_\mu\left(-s_k + \kappa \left(1 - s_k \varepsilon^k_\mu\right) \right),\ \end{align*} $$ 這裡我們使用符號 $ \varepsilon^k_i $ 為了 $ p_i $ 彈性 $ x_i $ 我們使用 $ s_k = \frac{p_k x_k}{\mu} $ 表示善的份額 $ k $ 在預算中。還： $$ \kappa = \left(\frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\frac{\mu}{\lambda}\right)^{-1} = \left(\frac{\ln \lambda}{\ln \mu}\right)^{-1} $$ 這是收入邊際效用的收入彈性的倒數。
如果商品多，那麼 $ s_k $ 非常小，所以： $$ \varepsilon^k_k \approx \kappa \varepsilon^k_\mu $$ 因此，確實，自身的價格彈性接近於與收入彈性成正比。
現在讓我們看看交叉價格彈性。寫作 $ (a) $ 在彈性方面給出： $$ \varepsilon^i_k = \varepsilon^i_\mu(-s_k - \kappa \varepsilon^k_\mu) $$
所以交叉價格彈性與收入彈性成正比。也為 $ i, j \ne k $ ， 我們有： $$ \frac{\varepsilon^i_k}{\varepsilon^j_k} = \frac{\varepsilon^i_\mu}{\varepsilon^i_\mu} \tag{A} $$ 因此，交叉價格彈性的比率在商品之間是相等的。
加性間接效用
讓 $ v $ 是間接效用函式，它取決於價格 $ p_i $ 和收入 $ \mu $ . 和之前一樣，寫 $ v_i = \frac{\partial v}{\partial p_i} $ , $ v_\mu = \frac{\partial v}{\partial \mu} $ 我們對二階導數使用 2 個索引。如果 $ v $ 是加法的，那麼對於 $ i \ne k $ : $ v_{i,k} = \frac{\partial^2 v}{\partial p_k \partial p_i} = 0 $ .
我們從以下等式開始（第一個是 Roy 的恆等式）： $$ x_i = -\frac{v_{i}}{v_\mu},\ \sum_i p_i x_i = \mu. $$ 取導數 $ p_k $ ( $ k \ne i $ ), $ p_i $ 和 $ \mu $ 給出： $$ \begin{align*} &\frac{\partial x_i}{\partial p_k} = \frac{-v_{i,k} v_\mu + v_i v_{\mu,k}}{(v_\mu)^2} = -x_i \frac{v_{\mu,k}}{v_\mu}, \tag{9} \ &\frac{\partial x_i}{\partial p_i} = \frac{- v_{ii}v_\mu + v_i v_{\mu, i} }{(v_\mu)^2} = -\frac{v_{ii}}{v_\mu} - x_i\frac{v_{\mu,i}}{v_\mu}, \tag{10}\ &\frac{\partial x_i}{\partial \mu} = \frac{-v_{i,\mu}v_\mu + v_i v_{\mu,\mu} }{(v_\mu)^2} = -\frac{v_{i,\mu}}{v_\mu} - x_i \frac{v_{\mu,\mu}}{v_\mu}, \tag{11}\ &\sum_j p_j \frac{\partial x_j}{\partial p_k} = - x_k, \tag{12}\ &\sum_j p_j \frac{\partial x_j}{\partial \mu} = 1. \tag{13} \end{align*} $$ 採用 $ (9) $ 進入 $ (12) $ : $$ \begin{align*} \sum_j p_j (-x_j) \frac{v_{\mu, k}}{v_\mu} - p_k \frac{v_{kk}}{v_\mu} = -x_k,\ \to -\mu \frac{v_{\mu,k}}{v_\mu} = - x_k + p_k \frac{v_{kk}}{v_\mu} \end{align*} $$ 將其代入 $ (9) $ : $$ \begin{align*} \frac{\partial x_i}{\partial p_k} &= -x_i \frac{v_{\mu, k}}{v_\mu},\ &=-x_i \left(\frac{x_k}{\mu} - \frac{p_k}{\mu} \frac{v_{kk}}{v_\mu} \right) \tag{b} \end{align*} $$ 然後使用 $ (12) $ 再次計算自身的價格效應： $$ \begin{align*} p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} &= -x_k - \sum_{j \ne k} p_j \frac{\partial x_j}{\partial p_k},\ &= -x_k + \sum_{j \ne k} p_j x_j \left(\frac{x_k}{\mu} - \frac{p_k}{\mu} \frac{v_{kk}}{v_\mu}\right),\ &= -x_k + \left(\frac{x_k}{\mu} - \frac{p_k}{\mu} \frac{v_{kk}}{v_\mu}\right)(\mu - p_k x_k) \tag{14} \end{align*} $$ 最後一行來自預算約束： $ \mu = \sum_j p_j x_j $ .
也來自 $ (10) $ 和 $ (11) $ : $$ \begin{align*} \frac{v_{kk}}{v_\mu} &= -\frac{\partial x_k}{\partial p_k} - x_k \frac{v_{\mu,k}}{v_\mu},\ &= -\frac{\partial x_k}{\partial p_k} + x_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu} + (x_k)^2 \frac{v_{\mu,\mu}}{v_\mu} \tag{c} \end{align*} $$ 將其代入 $ (14) $ : $$ \begin{align*} p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} &= -x_k + \left(x_k - p_k \frac{v_{k,k}}{v_\mu}\right)(1 - s_k),\ &= -x_k + \left(x_k + p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} - p_k x_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu} - p_k (x_k)^2 \frac{v_{\mu,\mu}}{v_\mu}\right)(1- s_k),\ \to p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} s_k &= - x_k + \left(x_k - p_k x_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu} - s_k x_k \mu \frac{v_{\mu, \mu}}{v_\mu} \right) (1 - s_k),\ \to p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} & = - \frac{x_k}{s_k} + \frac{1 - s_k}{s_k} \left(x_k - s_k \mu \frac{\partial x_k}{\partial \mu} - x_k s_k \mu \frac{v_{\mu,\mu}}{v_\mu} \right). \end{align*} $$ 如果我們將兩邊除以 $ x_k $ ，我們可以用彈性術語來表示： $$ \begin{align*} \varepsilon^k_k &= -\frac{1}{s_k} + \frac{(1-s_k)}{s_k}(1 - s_k \varepsilon^k_\mu - s_k \delta),\ &= -1 - (1 - s_k)\varepsilon^k_\mu - (1 - s_k)\frac{1}{\kappa}. \tag{14}\ \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \mu \frac{v_{\mu,\mu}}{v_\mu} = \frac{\partial \ln v_\mu}{\partial \ln \mu} = \frac{\partial \ln \lambda}{\partial \ln \mu} = \frac{1}{\kappa} $$ 表達 $ (14) $ 給出自己的價格彈性
這裡與 Houthakker 的推導有一點不同，因為我在最後一個學期有一個減號，而他有一個“+”號，所以我可能犯了一個錯誤。
如果 $ s_k $ 變小我們有： $$ \varepsilon^k_k = -1 - \varepsilon^k_\mu - \frac{1}{\kappa}. $$ 所以，在這裡我們並沒有真正得到 $ \varepsilon^k_k $ 正比於 $ \varepsilon^k_\mu $ . 另一方面，如果 $ 1/\kappa $ 在這種情況下非常小： $$ 1 - \varepsilon^k_k \approx \varepsilon^k_\mu $$ 所以一減去自身的價格彈性等於收入彈性。
對於交叉價格彈性，我們可以寫 $ (b) $ 在彈性方面（並使用 $ (c) $ ): $$ \begin{align*} \varepsilon^i_k &= -\left(s_k - \frac{(p_k)^2}{\mu} \frac{v_{kk}}{v\mu}\right),\ &= s_k\left(-1 + \varepsilon^{k}k + s_k \varepsilon^k\mu + s_k \frac{1}{\kappa}\right) \end{align*} $$ 取比為 $ i, j \ne k $ 給出： $$ \frac{\varepsilon^i_k}{\varepsilon^j_k} = 1. \tag{B} $$
直接和間接加法
讓我們看看如果直接效用函式和間接效用函式都是可加分離的會發生什麼， $ i,j \ne k $ 然後 $ (A) $ 和 $ (B) $ 給： $$ \frac{\varepsilon^i_k}{\varepsilon^j_k} = \frac{\varepsilon^i_\mu}{\varepsilon^j_\mu} = 1. $$ 這表明所有的收入彈性都是相同的。使用 $ (5) $ 以彈性形式，即： $$ \sum_i s_i \varepsilon^j_\mu = 1, $$ 表明所有收入彈性都等於 1，所以我們有線性恩格爾曲線。