如果且如果存在表示它的效用函式，則偏好關係是連續的
假設 $ X \subset \mathbb{R}^n $ . 偏好關係 $ \preceq $ 是自反的、完全的、傳遞的和連續的當且僅當存在效用函式 $ u:X \rightarrow \mathbb{R} $ 代表它。
我們如何證明這種證明，我看到了 Debreu Theorem 的證明，但我不明白每一步以及為什麼直覺上它是正確的。
Debreu 表示定理的核心是他所謂的“間隙定理”：
讓 $ S\subseteq[0,1] $ . 間隙是不相交的最大非平凡區間 $ S $ 有一個上限和下限 $ S $ . Debreu 的間隙定理說存在嚴格的增函式 $ f:S\to\mathbb{R} $ 這樣圖像中的所有間隙 $ f(S) $ 是開區間。Debreu 的直覺是，如果間隙是半開區間，則可以將端點滑動到一起以消除間隙。他在 [Debreu, Gerard. “用數值函式表示偏好排序。” 正如Debreu本人在 [Debreu, Gerard. “帕累托效用的連續性。” International Economic Review 5.3 (1964): 285-293.]，在那裡他還提供了一個非常冗長的正確證明。從那以後，有許多關於間隙定理的證明，從 [Bowen, Robert. “效用理論中一個定理的新證明。” 國際經濟評論9.3 (1968): 374-374]
現在，為什麼間隙定理有用？取任何效用函式 $ v:X\to [0,1] $ 代表持續的偏好。讓 $ u:X\to\mathbb{R} $ 成為組成 $ f\circ v $ 和 $ f $ 由間隙引理保證存在的函式。事實證明 $ u $ 那麼是連續的。顯然，它也代表了偏好。事實上，足以證明對於每個 $ r\in\mathbb{R} $ , 原像 $ u^{-1}\big ((-\infty, r]\big) $ 和 $ u^{-1}\big([r, \infty)\big) $ 關閉。本質上，人們使用間隙定理來表明這些區間是順序封閉的。由於偏好是連續的，順序封閉集實際上是封閉的。
值得指出的是，這個主題非常技術性；Debreu 定理沒有簡單的證明。