這些偏好是否符合理性？
假設有 XY 和 Z 三種商品。我們向代理人詢問他的偏好並得到以下答案：
- “我更喜歡 Z 勝過 Y 和 Y 勝過 X”。
- “對於每一個 $ n $ , 我更喜歡一個單位的 Z 和 $ n-1 $ X 的單位到 $ n $ Y 的單位”。
根據馮-諾依曼和摩根斯坦的“理性”公理，這些偏好是否與理性偏好一致？
最初，我認為“顯然是的”。von-Neumann 和 Morgenstern 只討論了對彩票的偏好，但這裡，agent 的偏好只在確定的序列上給出，因此顯然應該存在一些與其一致的理性偏好關係。
然而，理性公理之一是“連續性”。它說存在一個機率 $ p\in(0,1) $ 這樣：
$$ p Z + (1-p) X \sim Y $$
偏好關係可以用一個函式來表示 $ u $ 這樣： $ u(X)=0, u(Y)=p, u(Z)=1 $ .
但是，如果我們採取 $ n>1/p $ , 如果代理收到 $ n $ 單位的 Y，他的效用大於 1，所以代理人應該更喜歡這個而不是接受一個單位的 Z 和 $ n-1 $ X單位…
這些偏好有什麼問題？
您隱含地假設 $ n $ 單位 $ Y $ 等於 $ n $ 乘以 1 個單位的效用 $ Y $ ，並且沒有理由這樣做。例如，如果 $ Y $ 是冰箱，與 0 相比，擁有 1 台冰箱的效用增益肯定大於擁有 2 台冰箱與 1 相比的效用增益。公式 $ U(“nY”)=n*U(“Y”) $ 您使用的沒有意義：除了實用功能之外，還有其他實用功能 $ U $ 代表相同的偏好 $ {X,Y,Z} $ ，如果您使用這些實用程序進行相同的計算，您將得出不同的結論。
Von Neumann-Morgenstern 理論沒有對如何估值做出任何假設 $ n $ 單位不錯。Von Neumann-Morgenstern 表示將效用水平賦予選擇集中的所有消費品。在您的情況下，表示將包括對象，例如 $ U(“Y”) $ （一個單位的效用 $ Y $ ), $ U(“nY”) $ （效用 $ n $ Y) 的單位， $ U(“Z \text{ and }(n-1)X”) $ （效用 $ 1 $ 單位 $ Z $ 和 $ n-1 $ 單位 $ X $ ) 等。沒有什麼可以讓您將這些值相互關聯。Von Neumann-Morgenstern 理論的唯一行為限制涉及對這些商品誘導的彩票的偏好。
您需要其他工具來了解對有限商品集的偏好是否合理。這些工具是顯示偏好的弱公理和顯示偏好的廣義公理。
從歷史的角度來看，馮·諾依曼和摩根斯坦之所以發展出一種對彩票的偏好理論，正是因為他們想確定一個“好多少”的概念。 $ Y $ 好於好 $ X $ ”。一個明顯的可能性是觀察對成對商品的偏好，例如： $ n $ 單位 $ Y $ 相對 $ m $ 單位 $ X $ . 但由於上述原因，這是有問題的：沒有任何東西與一個單位的效用有關。 $ Y $ 的效用 $ n $ 單位 $ Y $ . 他們的訣竅是考慮對提供彩票的偏好 $ Y $ 以一定的機率和 $ X $ 具有互補機率：回答“你願意支付多少費用來增加你收到的機會”這個問題的答案 $ Y $ 1%？”很好地衡量了“你喜歡多少 $ Y $ 到 $ X $ ”。相比之下，“多少個單位的問題的答案 $ X $ 你願意犧牲以獲得額外的單位 $ Y $ ?” 沒有任何意義。