實用
比較效用函式
我最近參加了一個經濟班。我對如何證明他們的平等感到迷茫。從數學的角度來看，這些是完全不同的方程。請幫忙！
u1 (x1, x2) = x1^(2/3) x2^(1/3) u2 (x1, x2) = 4ln (x1) + 2 ln(x2) +3
根據決策理論的邏輯實證主義觀點，效用函式只是對可觀察行為的描述，沒有這個優勢就沒有內在意義。換句話說， $ u(x) > u(y) $ 表示 $ x $ 將被選中 $ y $ ，但差異的大小沒有附加資訊。如果 $ u(x) = 1 $ 和 $ u(y) = 0 $ 決策者更喜歡 $ x $ ; 如果 $ u(x) = 10000 $ 和 $ u(y)= 0 $ 決策者更喜歡 $ x $ . 無論哪種情況，我們都可以得出相同的結論。
這對您的問題意味著什麼？它告訴我們效用函式相等的含義：我們的意思是這兩個不同的（因此沒有定義上相等的）函式代表相同的可觀察數據。具體來說，具體什麼時候 $ u_1(x) > u_1(y) $ 我們也有嗎 $ u_2(x) > u_2(y) $ . 正如評論中提到的，這正是我們可以作曲的時候 $ u_1 $ 具有嚴格遞增的函式並彈出 $ u_2 $ . （這是因為我們只關心對象之間的順序，嚴格遞增的函式保持順序）。
那麼，我們的嚴格遞增函式會是什麼樣子呢？好吧，我們可以拿日誌，這樣我們得到 $ \frac23 ln(x_1) + \frac13 ln(x_2) $ 然後乘以 6 並加 3 就可以了。這些中的每一個都在嚴格增加，組成也是如此：
$$ (x,y) \mapsto 6 (ln(x) + ln(y)) + 3 $$ 是我們想要的功能。