加法價值函式的條件
在一個公平切蛋糕的標準問題中，有一個真正的區間叫做“蛋糕”，它必須在 $ n $ 夥伴。每個合作夥伴 $ i $ 具有主觀價值函式 $ v_i $ ，這是蛋糕子集上的加法函式。這意味著，對於每兩個不相交的子集 $ A $ 和 $ B $ :
$$ v_i(A\cup B)=v_i(A)+v_i(B) $$
假設每個合作夥伴都有偏好關係，而不是價值函式 $ \succeq_i $ .
偏好關係 $ \succeq_i $ 由值函式表示 $ v_i $ 如果：
$$ A\succeq_i B \iff v_i(A)\geq v_i(B) $$
偏好關係的哪些性質保證它可以用加法價值函式來表示？
注意：Wikipedia 頁面Ordinal 實用程序描述了一些條件，在這些條件下，偏好關係可以由加法值函式表示。但是，它涉及對同質商品捆綁的偏好。在這裡，偏好是關於異質商品的子集。
例子：
$$ u_1(A) = \text{len}(A)^2 $$
$ u_1 $ 不是加法，但它所代表的偏好關係可以用加法函式來表示 $ v_1(A) = \text{len}(A) $ .
$$ u_2(A) = \min[\text{len}(A\cap[0,4]),\text{len}(A\cap[4,8])] $$
偏好關係表示為 $ u_2 $ 不能用加法函式表示。證明：通過矛盾假設偏好關係由一個加法函式表示 $ v_2 $ . 然後，因為：
$$ u_2([0,1])=u_2([4,5])=u_2(\emptyset) $$
這也必須是正確的 $ v_2 $ :
$$ v_2([0,1])=v_2([4,5])=v_2(\emptyset) $$
通過加法：
$$ v_2([0,1]\cup[4,5])=v_2(\emptyset\cup\emptyset)=v_2(\emptyset) $$
這也必須是真的 $ u_2 $ :
$$ u_2([0,1]\cup[4,5])=u_2(\emptyset) $$
一個矛盾。
這只是部分答案，因為它不完全適合您的框架，但我希望它仍然會有所幫助（而且評論太長了）。
如果您可以將蛋糕離散化為（可能是任意小的）蛋糕片，那麼您將在
- Kraft, CH, Pratt, JW 和 Seidenberg, A. (1959)。有限集的直覺機率。數理統計年鑑，30（2），408-419。
其中大部分在介紹中得到了很好的總結
- 菲什伯恩，PC（1996 年）。有限線性定性機率。數學心理學雜誌，40（1），64-77。
雖然論文的設置是根據機率判斷，但可以從偏好的角度重新解釋如下：
- 一組有限的對象 $ S = {1,2,\dots,n} $ （在你的問題中 $ S $ 可以包含蛋糕的碎片）
- 偏好關係 $ \succeq $ 超過 $ 2^S $ 的子集 $ S $ .
- 問題：什麼時候 $ \succeq $ 可用加性效用函式表示 $ U $ 在 $ 2^S $ .
de Finetti 的一個經典猜想是以下條件就足夠了（這裡我遵循 Fishburn (1996) 中的介紹）：
- （命令） ： $ \succeq $ 在 $ 2^S $ 是一個弱順序，
- （非否定性）： $ A \succeq \emptyset $ 對於每個 $ A \in 2^S $ ,
- （不平凡）： $ S \succ \emptyset $ ,
- （加性）：對所有人 $ A,B,C \in 2^S $ ， 如果 $ (A\cup B) \cap C = \emptyset $ ， 然後 $ [A \succ B] \Leftrightarrow [(A\cup C) \succ (B\cup C)] $ .
de Finneti 觀察到這些是必要的，但無法確定它們是否足夠。最終，Kraft, Pratt & Seidenberg (1959) 提供了一個反例以及一個附加條件，該條件與其他四個條件一起暗示了加法表示的存在：
- （強加性）：對所有人 $ m\geq 2 $ 和所有 $ A_j,B_j \in 2^S $ ， 如果 $ (A_1,\dots,A_M) $ 和 $ (B_1,\dots,B_M) $ 包含相同數量的每個元素的副本 $ S $ （即如果 $ s_1 $ 總共出現了 3 次 $ A_j $ 集，它也出現在所有 $ B_j $ 套等）和 $ A_j \succeq B_j $ 對全部 $ j<m $ , 那麼我們沒有 $ [A_m \succ B_m] $ .
最後一個條件在文獻中通常被稱為“取消”屬性。現在（強可加性）不是最直覺的條件。一般來說，檢查和導航可能很困難，這激發了關於替代充分條件的大量文獻。如果你有興趣，我可以給你發一份閱讀清單。不幸的是，我不記得有任何論文直接解決對無限集子集的偏好，比如你的真實區間。
根據我對這類問題的經驗，更改定義偏好的域會在結果和您可以使用的證明技術方面產生巨大差異。如果文獻中還沒有某個結果，則很難從不同領域的明顯相似結果中推導出它。