連續性定義的等價性

連續性的定義之一是上等高線集和下等高線集是閉合的。

我試圖表明，如果偏好是連續的並且 $ x>y>z $ , 那麼有一些 $ \alpha \in [0,1] $ 這樣 $ \alpha x+(1-\alpha)z>y $

你能幫我用親密度證明第二個嗎？

提示：如果你通過設置的中間步驟會更容易 $ {\alpha \in[0,1]: \alpha x+(1-\alpha) z \succsim y} $ 為每個關閉 $ x,y,z $

我認為通過矛盾證明會更容易（如果您的偏好是完整的）。如果沒有這樣的 $ \alpha $ 然後每個 $ \alpha x + (1-\alpha)z $ 位於（弱）下等高線集中 $ y $ ，它是封閉的。現在建構一個序列（或網路）。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/17257