如何判斷 2 個不同的效用函式是否代表相同的偏好？
我需要驗證 $ u(x,y)=x^{1/3}y^{1/3} $ 代表相同的偏好 $ v(x,y)=x^3y^3 $ . 顯然這些是具有不同導數的完全不同的功能，那麼我在比較什麼？是什麼讓 2 個效用函式代表相同的偏好？
回想一下定義：
功能 $ u: X \rightarrow \mathbb{R} $ 代表 $ \succeq $ 在 $ X $ 如果有的話 $ x,y \in X $ ， 然後 $ x \succeq y \iff u(x) \geq u(y) $
我們可以證明，如果 $ u: X \rightarrow \mathbb{R} $ 代表 $ \succeq $ 在 $ X $ ，那麼對於任何嚴格遞增的函式， $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ， 功能 $ v(x) = f(u(x)) $ 也代表 $ \succeq $
（短）**證明：**對於任何 $ x,y \in X $ ， 如果 $ u $ 代表 $ \succeq $ ， 然後 $ x \succeq y \iff u(x) \geq u(y) $ 根據定義。
因為 $ v $ 嚴格增加， $ f(u(x)) \geq f(u(y)), \implies v(x) \geq v(y) $ .
因此 $ x \succeq y \iff v(x) \geq v(y), \implies v $ 代表 $ \succeq $
在你的情況下，你有 $ u(x,y) = x^\frac{1}{3}y^\frac{1}{3} $ , 並且可以設置 $ v(x, y) = (u(x,y))^9 = x^3y^3 $ ，你想要的結果。
另一個技巧是比較它們的邊際替代率。如果對於類似的邊際技術替代率（即相對價格），它們產生相同的相對投入，那麼它們代表相同的偏好（基本上一個是另一個的單調變換；見下文）。
對於您給出的第一個偏好，這是：
$$ \frac{\dfrac{\partial u}{\partial x}}{\dfrac{\partial u}{\partial y}} = \frac{y}{x} $$ 證明第二個函式產生相同的 MRS 是微不足道的。因此，它們代表相同的偏好。
另一種看待這個問題的方法是注意優化一個函式 $ f(x) $ 與優化此類函式的單調變換相同。因此，將自然對數應用於這兩個函式，分別得到：
$$ \ln u = \frac{1}{3}\left(\ln x + \ln y \right) $$ $$ \ln v = 3\left(\ln x + \ln y \right) $$ 請注意 $ \ln v = 9\ln u $ . 因此，它們確實是相同的。