字典偏好關係不能用效用函式表示
我堅持以下練習，與偏好關係和von-Neumann-Morgenstern 效用函式有關。
一個農民想在一塊方地裡挖一口井 $ [0,1000]\times[0,1000] $ . 農民對可能位置的偏好是按字典順序排列的，即：
- 如果 $ x_1<x_2 $ 然後 $ (x_1,y_1)\prec(x_2,y_2) $ 對全部 $ y_1,y_2 $ .
- 如果 $ x_1=x_2=x $ ， 然後 $ (x,y_1)\prec(x,y_2) $ 當且當 $ y_1 < y_2 $ .
最初，假設井位置必須具有整數座標。彩票上是否存在滿足 von-Neumann-Morgenstern 公理並擴展詞典偏好關係的偏好關係？如果是這樣，代表這種關係的線性效用函式是什麼？
我認為答案是肯定的，一個可能的線性效用函式是： $ u(x,y)=100000x + y $ .
現在，假設井位可以有真實座標。證明不存在代表彩票偏好關係的線性效用函式。彩票中的偏好關係違反了哪一個馮-諾依曼-摩根斯坦公理？
我在這里卡住了。我不明白為什麼我上面建議的實用功能不起作用？這裡違反了什麼公理？
我們可以更一般地說，詞彙偏好不能使用連續效用函式來表示。詞彙偏好不是連續的。注意連續偏好關係的定義。
偏好關係 $ \succeq $ 如果對於任何消費束序列是連續的 $ (x_{i}){i \in \mathbb{N}} $ 和 $ (y{i}){i \in \mathbb{N}} $ 和 $ x{i} \to x $ , $ y_{i} \to y $ ， 和 $ x_{i} \succeq y_{i} $ 對於每個 $ i \in \mathbb{N} $ ， 然後 $ x \succeq y $ . 也就是說，連續性保留了極限點的關係。
考慮 $ (x_{i}){i \in \mathbb{N}} $ 被定義為 $ x{i} = (\frac{1}{2^{i}}, 0) $ 和 $ (y_{i}){i \in \mathbb{N}} $ 被定義為 $ y{i} = (0, 1) $ . 清楚地， $ x_{i} \succeq y_{i} $ 對於每個 $ i \in \mathbb{N} $ . 然而， $ x_{i} \to (0, 0) $ 儘管 $ y_{i} \to (0, 1) $ . 所以這種偏好關係不會在極限點保留。
更一般地說，沒有效用函式代表詞彙偏好關係。我證明 $ \mathbb{R}{+}^{2} $ , 但這個論點擴展到 $ \mathbb{R}{+}^{n} $ 通過投影到 $ \mathbb{R}_{+}^{2} $ .
證明：相反，假設某個效用函式 $ u : \mathbb{R}{+}^{2} \to \mathbb{R} $ 代表 $ \succ{lex} $ . 因此我們有 $ u(x, 1) > u(x, 0) $ ， 作為 $ (x, 1) \succ (x, 0) $ . 我們構造區間 $ I(x) = [u(x, 0), u(x, 1)] $ . 現在對於任何兩個不同的 $ x, y \in \mathbb{R}_{+} $ , $ I(x) \cap I(y) = \emptyset $ 正如我們所擁有的 $ x > y $ 或者 $ y > x $ （所以 WLOG，我們有 $ (x, 0) \succ (y, 1) $ ).
定義 $ \mathbb{I} = { I(x) : x \in \mathbb{R}{+} } $ ， 然後讓 $ \phi : \mathbb{R}{+} \to \mathbb{I} $ 由 $ \phi(x) = I(x) $ . 請注意 $ \phi $ 是一次注射，因為每個 $ I(x), I(y) $ 是不相交的 $ x, y $ .
注意 $ \mathbb{Q} $ 密集在 $ \mathbb{R} $ . 所以每個區間都存在一個有理數。定義 $ \tau : \mathbb{I} \to \mathbb{Q} $ 這樣 $ \tau(I(x)) $ 返回一個包含在 $ I(x) $ . 所以 $ \tau $ 是注射劑。我們有 $ \tau $ 組成 $ \phi $ 注射，這意味著 $ |\mathbb{R}{+}| \leq |\mathbb{Q}{+}| $ ，矛盾。QED。