序數效用和單調變換
如果u(x)是表示（弱）偏好關係R的序數效用函式，則
*(a) u(x)*的任何嚴格單調變換也表示 $ R $ ,或
*(b) u(x)*的任何單調變換也表示 $ R $ .
(a) 或 (b) 哪個是正確的命題？
我認為（b）是正確的答案，但是當我查找各種線上資源時，我發現了這兩個定義，所以我不再確定。
我認為（a）不可能是正確的，因為單調變換的條件通常被表述為條件：如果以下成立，F 是 u 的嚴格單調變換：（1）如果 $ u(x)>u(y) $ ， 然後 $ F(u(x))>F(u(y)) $ . 但這不涉及情況（2） $ u(x)=u(y) $ , 代表 xIy。不會 $ F(u(x))>F(u(y)) $ 與 (1) 和 (2) 兼容，但代表 xPy？但是，考慮一下，似乎與（1）相同的“大於或等於”也不會這樣做。單調性條件是否被表述為雙條件？我很困惑。
您需要清楚定義。讓我們來：
(1) $ u: X \to \mathbb{R} $ 代表 $ \succsim $ 如果 $ u(x) \geq u(y) \iff x \succsim y $ .
(2) 一個函式 $ h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ 是單調的，如果 $ z \geq w \implies h(z) \geq h(w) $ . $ h $ 是嚴格單調的，如果 $ z > w \implies h(z) > h(w) $ .
首先，請注意，每個嚴格單調函式都是單調的。為什麼？好吧讓 $ z \geq w $ ，有兩種情況需要檢查：(i) $ z > w $ ：應用定義；(二) $ z = w $ ： 然後 $ h(z) = h(w) $ 根據平等的定義（這是因為 $ \mathbb{R} $ 是一個完全有序的集合）。
因此，我們立即看到您的條件 (b) 意味著您的條件 (a)。然而，（b）是錯誤的（我不理解卡納克的推理路線，但它肯定是錯誤的，儘管也許可以通過非標准定義來合理化）。為了證明它是錯誤的，我們需要一個反例。讓我們 $ X = {x,y} $ 然後讓 $ x \succ y $ . 然後 $ u(x) = 1 $ 和 $ u(y) = 0 $ 代表 $ \succsim $ . 而且， $ h: z \mapsto 0 $ 是單調變換。但， $ h(u(x)) = h(u(y)) = 0 $ 才不是。
事實上，這個例子表明，破壞資訊的是弱單調變換（它們不必是可逆的），就表示而言，這表明嚴格偏好會崩潰為弱不等式。
證明 (a) 成立是定義的直接應用。（提示：表明可以通過雙條件語句定義嚴格的單調性）。