偏好關係定義為Xn1+Xn2X1n+X2nx_1^n + x_2^n收斂到最大{X1,X2}最大限度{X1,X2}max{x_1, x_2}
在魯賓斯坦微觀經濟學的問題集 2 中（順便說一句，有沒有一本相當不錯的宏觀經濟學著作？）有以下問題：讓 $ \succ_n $ 是定義的偏好關係 $ \mathbb{R}^2_+ $ 由實用程序 $ x_1^n + x_2^n $ . 讓偏好關係 $ \succ $ 由實用程序定義 $ \max{x_1, x_2} $ . 顯示 $ \succ_n $ 收斂到 $ \succ $ .
如果 為 $ a \succ b $ 我們有 $ a \succ_m b $ 對於足夠大 $ m $ . 我確實能夠證明這一點。
現在wlog $ x_1 = \max{x_1, x_2} $ 和 $ y_1 = \max{y_1, y_2} $ . 假如說 $ x_1 = y_1 $ 我們有 $ x \sim y $ . 但唯一的情況是 $ x \sim_m y $ 也是時候 $ x_2 = y_2 $ . 在其他情況下，我們會 $ x \succ_m y $ 或者 $ y \succ_m x $ 對全部 $ m $ （根據 $ x_2 $ 和 $ y_2 $ ，“較小的組件”。這些實際上是字典偏好！）
以這種方式完成偏好關係的收斂是否有理由忽略這些微妙之處？在我看來，我們應該有 $ \succeq = \lim_{n \to \infty} \succeq_n $ 當且當 $ a \succeq b = \lim_{n \to \infty} a \succeq_n b $ .
混淆的根源來自嚴格偏好和弱偏好之間的區別。定義 $ \succ_n $ 嚴格的偏好和 $ \succsim_n $ 偏好弱。
1）偏好關係的順序 $ \succ_n $ 不收斂到偏好關係 $ \succ $ ，正是因為無差異的情況。如果我們以你的例子 $ x_1=y_1 $ , $ x_1=\max(x_1,x_2) $ 和 $ y_1=\max(y_1,y_2) $ . 還假設 $ x_2>y_2 $ . 那麼，對於任何 $ n>0 $ , $ x\succ_n y $ 但我們沒有 $ x\succ y $ .
2）但是，可以證明該序列 $ \succsim_n $ 收斂到 $ \succsim $ ，這是您在問題末尾的建議。我們可以檢查上面的反例在這裡不適用： $ x\succsim_n y $ 為了 $ n>0 $ 和 $ x\succsim y $ .
3）魯賓斯坦的教科書有錯誤嗎？不。問題集（2018 年更新）實際上是根據弱偏好來建構問題的 $ \succsim $ （請注意，仍然存在令人費解的符號組合）。