證明在uu是一個效用函式≿≿succsim
如果 X 是有限的，定義這個函式 $ u : X \rightarrow \mathbb{R} $ 經過 $ u(x) = |{z\in X:z \prec x }| $ . 證明 $ u $ 是一個效用函式 $ \succsim $ .
證明關係是傳遞的和完全的就足夠了嗎？
引理： 如果 $ \succsim $ 具有效用函式，則它是傳遞的和完全的。
你被要求證明 $ u(x)\ge u(y);\Leftrightarrow;x\succsim y $ 對於任何 $ x,y\in X $ ， 在哪裡 $ u(x)=|{z\in X:z\prec x}| $ ，即效用 $ x $ 由嚴格低於它的其他備選方案的數量來衡量。自從 $ X $ 是有限的，讓我們假設不失一般性 $ X={1,2,\dots,N} $ 在哪裡 $ N $ 是某個有限的數。
我將證明替代方案之間沒有差異的情況，例如， $ 1\succ2\succ\cdots\succ N $ . 我將通過建立備選方案子集之間存在差異的情況讓您完成證明。
步驟 1. 建立 $ u(x)>u(y);\Rightarrow;x\succ y $ .
認為 $ u(x)>u(y) $ . 根據定義 $ u $ , 備選方案的數量嚴格低於 $ x $ 大於嚴格差於的備選方案的數量 $ y $ . 如果 $ y\succsim x $ ，這將與前面的說法完全矛盾。因此，我們必須有 $ x\succ y $ .
步驟 2. 建立 $ x\succ y;\Rightarrow;u(x)>u(y) $ .
認為 $ x\succ y $ . 由於我們假設備選方案之間沒有無差異，因此一組嚴格更差的備選方案 $ x $ , $ {z\in X:x\succ z} $ , 必須包含比嚴格更差的選擇集更多的元素 $ y $ , $ {z\in X:y\succ z} $ . 換句話說， $ |{z\in X:x\succ z}|>|{z\in X:y\succ z}| $ . 因此，我們得到 $ u(x)>u(y) $ 因此。
綜上所述，步驟 1 和 2 表明 $ x\succ y;\Leftrightarrow;u(x)>u(y) $ 對於任何任意 $ x,y\in X $ .