表明偏好關係允許效用函式表示
**設置：**我們有兩種商品可供選擇 $ (x_1,y_1) $ 和 $ (x_2,y_2) $ 從選擇集 $ [-1,1]^2 $ . 此外，我們有以下偏好關係$$ (x_1,y_1)\mathcal{R}(x_2,y_2)\iff |x_1|\geq|x_2|>>\text{or}>> |y_1|\geq|y_2| $$
**問題：**我們必須檢查是否存在這種偏好關係的效用函式表示。
**我的嘗試：**因此，根據我所學到的，我們知道，如果偏好關係是理性的（自反的、完全的、傳遞的）和連續的，則偏好關係允許效用函式表示。我發現這種偏好關係不具有傳遞性，但這並不意味著不存在效用函式表示，因為上述語句不是if 且僅 if語句。
此外，我認為我們可以嘗試從以下事實中得出一個矛盾：如果存在效用函式 $ u $ 偏好關係的表示，那麼我們有$$ (x_1,y_1)\mathcal{R}(x_2,y_2)\iff u(x_1,y_1)\geq u(x_2,y_2) $$ 我試圖通過使用上面的陳述來利用關係不傳遞的事實來推導矛盾，但沒有成功。
可悲的是，這是我為解決這些問題而學會的兩個主要定理/命題。
任何幫助表示讚賞！
您只需要使用違反傳遞性並通過矛盾進行。
假設你有那個 $ (x_1,y_1)R(x_2,y_2) $ 和 $ (x_2,y_2)R(x_3,y_3) $ 和一個效用函式， $ u:[-1,1]^2\rightarrow \mathbb{R} $ , 存在, 那麼 $ u(x_1,y_1)\geq u(x_2,y_2) $ （這是兩個實數）和 $ u(x_2,y_2)\geq u(x_3,y_3) $ . （另外兩個實數）。由於實數是傳遞的，我們得出結論 $ u(x_1,y_1)\geq u(x_3,y_3) $ 這反過來意味著 $ (x_1,y_1)R(x_3,y_3) $ . 然而，這是一個矛盾（如果你仔細選擇你的三個捆綁包）。
傳遞性和完整性實際上對於效用表示的存在是必要的。每當您證明偏好不完整或不具有傳遞性時，您就可以得出結論，它們不承認效用函式。對於有限選擇集 $ X $ ，及物性和完備性是必要和充分的，見定理 5這裡。
與您的建議相反，連續性本身並不是必需的，但幾乎是必要的。您需要的是一個稱為可分離性的條件。比如說 $ \succcurlyeq $ 如果存在可數集是可分的 $ Z \subseteq X $ 這樣對於每個 $ x,y\in X $ 存在一些 $ z\in Z $ 這樣 $ x\succcurlyeq z \succcurlyeq y $ .
定理A 偏好關係 $ \succcurlyeq $ 在 $ X $ 承認效用表示當且僅當它是完整的、傳遞的和可分離的。
這實際上是康托爾的一個非常古老的結果，它先於德布魯的著名結果——假設連續性。康托爾的成果被克雷普斯帶入經濟學。你可以在這裡找到一個證明，定理 9。