同位函式之和
如果兩個效用函式代表類比偏好，它們的總和也會是類比的嗎？
定義：一個函式 $ h:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} $ 度數是同質的 $ k $ 如果對於每個非零 $ \alpha $ , $ h(\alpha x, \alpha y)=\alpha^k h(x,y) $ .
定義：如果一個函式是一個齊次函式的單調變換，那麼它就是一個函式。
引理：如果 $ f $ 是同位的，即 $ f=g\circ u $ 對於一些嚴格增加 $ g $ 和同質的 $ u $ 然後
$$ \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} = \frac{g’(u(x,y))\frac{\partial u}{\partial x}}{g’(u(x,y))\frac{\partial u}{\partial y}}=\frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial u}{\partial y}} $$ 是零次同質的。 讓
一世） $ u_1(x,y)=x+y $ ,
ii) $ u_2(x,y)=\log(2x+y) $
然後， $ u_1 $ 和 $ u_2 $ 是同質函式，因為它們是齊次函式（1 次）的單調變換。讓
iii) $ u_3(x,y)=x+y+log(2x+y) $ . 然後
$$ MRS_{u_3}=\frac{\frac{\partial u_3}{\partial x}}{\frac{\partial u_3}{\partial y}}=\frac{1+\frac{2}{2x+y}}{1+\frac{1}{2x+y}}=\frac{2x+y+2}{2x+y+1} $$ 它不是 0 次同質的。 因此，類位函式之和不一定是類位的。