什麼是效用函式的例子，其中一種商品是劣等的？
假設消費者對蘋果和香蕉有標準的凸單調偏好。
（更新：我希望偏好盡可能“標準”。所以理想情況下，我們到處都有遞減的 MRS，而且到處都有“越多越好”。）
假設他的偏好可以用一些效用函式來表示 $ u(A,B) $ . 他必須滿足一些預算約束 $ p_AA+p_BB=y $ ， 在哪裡 $ y $ 是他的收入。
那麼什麼是效用函式的範例，其中 $ \frac{\partial A}{\partial y}<0 $ ，至少在某些情況下？
在我看來，這似乎是一個非常簡單的問題，但簡單地Google搜尋我找不到任何東西。
一種商品不能在整個收入範圍內都是劣等的。
具有 Giffen 行為的便利實用函式一文表明，對於具有以下形式的實用程序的人：
$$ U(x,y) = \alpha_1 \ln(x-\gamma_x)- \alpha_2 \ln(\gamma_y - y) $$
X 是劣等的，如果 $ \gamma_x $ 和 $ \gamma_y $ 是積極的， $ 0<\alpha_1<\alpha_2 $ ，並且在域中 $ x>\gamma_x $ 和 $ 0\leq y<\gamma_y $ .
更新： $$ U(x,v) = x + \ln(v) $$ 如果預算是 $ w $ , $ v^* = \min(P_x / P_V, w) $ 因此對於 $ w>P_x / P_V $ $ v $ 是
劣質粘的好。意識到這實際上是零收入彈性而不是負彈性，所以它並不遜色。我為效用函式找到了另一種時髦的函式形式，其中一種商品是劣質的，但另一種商品的邊際效用也在增加：劣質商品和新穎的無差異圖
$$ U = A_1 \ln(x) + y^2 /2 $$該函式給出了一個瘋狂的冷漠圖。
對我來說，劣質商品的典型例子是廉價食品之類的東西，其中更昂貴的美味食品將其排擠，因為有一個額外的限制（胃容量）最終會綁定。應該很容易舉一個例子，其中劣勢是第二個約束而不是效用函式的結果。
用另一個例子更新：
論文The Case of a “Giffen Good” (Spiegel (2014)) 表明，對於具有以下形式的效用的人： $$ U = \begin{Bmatrix} \alpha X - \beta X^2 / 2 + \lambda Y + \delta Y^2 / 2 & for & 0\leq X\leq \alpha/\beta \ \alpha^2 /2 \beta + \lambda Y + \delta Y^2 /2 & for& X > \alpha/\beta\end{Bmatrix} $$ 在哪裡 $ \alpha, \beta, \lambda, $ ， 和 $ \delta $ 是常數和正值。
但與上述函式一樣，該效用函式在一個商品 (Y) 中具有增加的 MU。這在 Giffen 設置中顯然很常見：
在加性效用函式的情況下，所有商品的邊際效用隨著商品的消費而遞減，即收入的邊際效用遞減，所有商品都是正常的，並且相互之間存在淨替代。然而，如果對於某些商品（在我們的例子中，商品 Y）的邊際效用是正的並且增加，而對於其他商品，邊際效用正在減少（在我們的例子中，商品 X），那麼收入的邊際效用在增加。邊際效用增加的商品是奢侈品，而邊際效用遞減的商品是劣質商品。這些特徵由 Liebhafsky (1969) 和 Silberberg (1972) 和 wen 證明：用於開發上述說明吉芬商品情況的效用函式。
讓我們看看在兩種商品的情況下，一種商品的劣勢意味著什麼。查閱Silberberg 的“經濟學結構”（仍然是有史以來最好的本科微觀經濟學教科書之一），第 2 章。10 了解更多詳情。
效用最大化由（星號表示最佳水平）描述
$$ U_A(A^,B^) - \lambda^p_A \equiv 0 $$ $$ U_B(A^,B^) - \lambda^p_B \equiv 0 $$ $$ y- p_AA^ - p_BB^ \equiv 0 $$ 並註意使用身份符號而不是簡單的相等 - 這些關係始終保持在最佳狀態。然後我們可以區分雙方並保持同一性。這樣做並解決 $ 3 \times 3 $ 方程組來確定各種導數，你會發現如果好的 $ A $ 劣勢 $ \frac {\partial A^*}{\partial y} <0 $ ，那麼我們必須有
$$ p_AU^_{BB}> p_BU^{AB} $$ 如果我們願意接受 $ U{BB} >0 $ , 那麼交叉部分 $ U_{AB} $ 可以為零，我們可以有一個效用函式，就像@BKay 的答案中提到的那樣。
但是如果我們想保持 $ U_{BB} <0 $ ，那麼一定是這樣的 $ U_{AB} $ ，效用函式的交叉偏導數也必須嚴格為負（因此不為零）。這反過來又意味著不可分離、加法或乘法的偏好。
也許你可以考慮類似
$$ U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right] $$ 並且所有四個參數都是正的。例如，對於值， $ a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8 $ 無差異圖是
我的猜想是因為 $ 0<h<1 $ 您也許可以擁有所有標准設置以及自卑感 $ A $ （當然還有合適的價格值和其他參數）。求一階條件，代入 $ B $ 按照 $ A $ 在預算約束中，並使用隱函式定理來確定所需參數的條件 $ \frac {\partial A^*}{\partial y} <0 $ . 並且不要忘記檢查這些條件是否與效用最大化的二階條件兼容。
評論 2015 年 10 月 7 日
在我看來，此答案中的一些評論混淆了單調變換下偏好表示和偏好排名的保留問題，以及商品的“自卑”屬性。偏好及其表示與預算約束的存在無關。另一方面，“自卑”與預算約束的存在有關，以及它在變化時如何影響選擇（而不是偏好）。
單調變換不會讓一切都“保持不變”。考慮效用函式 $ V = A^k+ B^h $ , 及其單調變換 $ U =\ln(A^k+ B^h) $ . 人們可以很容易地看到，雖然 $ \frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0 $ , 我們有 $ \frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0 $ . 換句話說，單調變換可以保留商品束的等級，但這並不意味著它們給出了相同的商品關係。正如我在上面所寫的，“自卑”的性質取決於所使用的效用函式的二階偏導數的符號和相對大小，符號和相對大小取決於所使用的實際函式形式。
