哪些效用函式等價於加法函式？

呼叫實用函式 $ u(x,y) $ 如果存在函式，則加法 $ v_x,v_y $ 這樣：

$$ u(x,y)=v_x(x)+v_y(y) $$ 考慮函式 $ u(x,y)=xy $ . 它不是加法的，但可以使用正單調變換 (PMT) 對函式進行變換： $ u’(x,y)=\log u(x,y) = \log{x}+\log{y} $ , 和函式 $ u’ $ 是加法的。

我的問題是：函式的條件是什麼 $ u(x,y) $ 保證可以使用 PMT 將其轉換為加法函式？

即，如果我看到一個函式 $ u(x,y) $ ，我怎麼知道它是否代表了一種偏好關係，也可以用加法效用函式來代表？

Ted Bergstrom 的Lecture Notes on Separable Preferences似乎有你要找的東西。例如：

偏好何時可加分？

偏好可加分的最有用的充分必要條件是所有商品集合的每個子集都是可分的。我所知道的關於這個命題的證明比這裡看起來合適的要復雜一些。可以在 Gerard Debreu 的論文（基數效用中的拓撲方法）中找到該定理的更一般的版本。Debreu 的論文似乎是對這個問題的第一個令人滿意的通用解決方案。其他證明可以在（測量基礎）和（決策的效用理論）中找到。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/6908