為什麼 Karush-Kuhn-Tucker 優化找不到解決方案？

我有以下效用最大化問題：

$$ \max (xy) $$ $$ (x+y-2)^2 \leq 0 $$ 條件： $$ y-2\lambda (x+y-2) =0 $$ $$ x-2\lambda (x+y-2) =0 $$ $$ \lambda(x+y-2)^2=0 $$ 當我設置 $ \lambda>0 $ ，我得到：

$$ (x+y-2)^2=0 \Rightarrow (x+y-2) = 0 $$ $$ y-2\lambda (x+y-2) = y = 0 $$ $$ x-2\lambda (x+y-2) = x = 0 $$ 但顯而易見的解決方案是 $ x=y=1 $ .

當我設置

$$ \lambda=0 $$這也不是有效解決方案的情況。約束是否太低？對此有何解釋？ 非常感謝您的幫助。

正如@user32416 所指出的，一階平穩條件是不夠的。具體來說，您似乎違反了Slater 的條件，即“可行區域必須有一個內點”。沒有 $ x,y $ 為此

$$ (x+y-2)^2 < 0. $$ 如果您將問題改寫為

$$ \max (xy) $$ $$ x+y-2 = 0 $$ $$ x,y \geq 0 $$ 滿足 Slater 條件（對於線性條件，不需要內部點），您可以應用 Karush-Kuhn-Tucker。

這是一個病態的問題。即使不通過 KKT，你的約束 $ (x + y - 2)^2 \le 0 $ ，因為左側是正方形，意味著唯一可行的解​​決方案是等式綁定的解決方案；IE $ (x + y - 2)^2 = 0 $ ， 或者那個 $ |x + y - 2| = 0 $ ——其中你所說的 $ x = y = 1 $ 是一個解決方案。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/8790