Campbell Shiller 對數線性關係
我試圖推導出坎貝爾席勒對數線性關係，但我遇到了一些非常簡單的事情（我相信）。在我們使用一階 tayler 展開之前，我被卡住了，因為我不知道那是怎麼回事 $ e $ 進去了：
$ \ln \left(1+\frac{D_{t+1}}{P_{t+1}}\right)=\ln \left(1+\exp \left{\ln \left(D_{t+1}\right)-\ln \left(P_{t+1}\right)\right}\right) $
當我使用日誌規則時，我得到 $ \ln \left(D_{t+1}\right)-\ln \left(P_{t+1}\right) $ 部分，但為什麼會提高到 $ e $ ?
它與不斷複利有關嗎？
您可以簡單地從總回報的定義開始 $$ \begin{align*} R_{t+1}&=\frac{D_{t+1}+P_{t+1}}{P_t} \ &=\frac{1+P_{t+1}/D_{t+1}}{P_t/D_t}\frac{D_{t+1}}{D_t}, \end{align*} $$ 第一部分現在包含您的價格股息率。去日誌返回， $$ \begin{align*} r_{t+1} &= \ln\left(1+\frac{P_{t+1}}{D_{t+1}}\right) - \ln\left(\frac{P_t}{D_t}\right)+\ln\left(\frac{D_{t+1}}{D_t}\right) \ &= \ln\left(1+e^{\mathfrak{d}_{t+1}}\right)-\mathfrak{d}t+\Delta d{t+1}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathfrak{d}t=\ln\left(\frac{P_t}{D_t}\right) $ 是對數價格股息率和 $ \Delta d{t+1} $ 對數股息增長。
現在，您可以使用泰勒定理$$ \ln(1+e^x)\approx\ln(1+e^{x_0})+\frac{e^{x_0}}{1+e^{x_0}}(x-x_0). $$我們通常選擇長期對數價格股息比率， $ \bar{\mathfrak{d}}=\ln(\bar{\mathfrak{D}}) $ 作為點 $ x_0 $ . 然後，
$$ \begin{align*} r_{t+1} &\approx \ln(1+\bar{\mathfrak{D}})+\frac{\bar{\mathfrak{D}}}{1+\bar{\mathfrak{D}}}(\mathfrak{d}{t+1}-\bar{\mathfrak{d}}) -\mathfrak{d}t+\Delta d{t+1} \ &= k+\rho \mathfrak{d}{t+1}-\mathfrak{d}t+\Delta d{t+1}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ k,\rho $ 是常數。
如您所見，如果
- 今天的價格很低（因此 $ \mathfrak{d}_t $ 低）。
- 明天的價格很高（因此 $ \mathfrak{d}_{t+1} $ 很大）。
- 股息增長 ( $ \Delta d_{t+1} $ ） 高。
所有這些都具有直覺的意義！
當然，您可以迭代應用上述關係，得到現金流分量和折現率分量的分解。這對回報可預測性文獻也有巨大的影響（價格股息比率的變動意味著未來股息增長率或未來回報或兩者都是（部分）可預測的）。
為了指導上述等式， $ \rho\approx0.96 $ 和 $ \bar{\mathfrak{D}}\approx25 $ （4％的股息價格比率）對我來說似乎是不錯的猜測。
請注意，所有這些關係都直接來自收益的定義，不依賴於任何模型假設。
對數線性化經常用於解決各種資產定價模型（例如長期風險模型）。但是，要小心。泰勒近似只是一階的近似。Pohl、Schmedders 和 Wilms (2018, JF) 表明，對數線性化會產生錯誤的結果，因為忽略了高階項。