將不連續的反向收益組合成一個連續函式
我的目的是衡量一個交易範圍內多頭/空頭頭寸的最佳交易的預期對數回報。交易區間有一個平衡點，多頭頭寸的最大收益等於空頭頭寸的最大收益，這導致雙方都沒有獲得任何優勢。如果收盤價高於均衡價格，則使用多頭頭寸作為預期未來回報的衡量標準。如果低於平衡，則使用空頭頭寸。如果相等，則為 0。
目前，按照我建構事物的方式，這是一個不連續的函式，在 0 附近有強烈的跳躍，這對我來說沒有任何現實意義。我寧願看到 0 和政權更迭之間的某種平穩過渡。我只是不知道該怎麼做。我也不確定線性映射是否合理，或者某種曲線/分佈是否更有意義以及為什麼。
對於一個簡單的近似值（如果您希望值漸近接近，這並不是特別有用 $ N $ ),
$$ \ln\left(\frac{\max\left(L,H\right)}{0.01}\right)\tanh\left(k\left(x-N\right)\right) $$
或者
$$ \ln\left(\frac{\max\left(L,H\right)}{0.01}\right)\operatorname{erf}\left(k\left(x-N\right)\right) $$
是合適的。如果你想要一個漸近近似（非常準確），
$$ R_{N}=\lim_{k\rightarrow\infty}R_{O}\left(1-e^{-k\left(x-N\right)^{2}}\right) $$
這樣 $ R_N=R_O $ , $ \forall x\in\mathbb{R}\backslash{N} $ 和 $ R_N=0 $ 什麼時候 $ x=N $ . 取較大的值 $ k $ ，產生一個連續的解決方案。請參閱https://www.desmos.com/calculator/45djjacr1i。我希望這有幫助。