Burgard & Kjaer 的現金賬戶增長 (2011)
我在重讀
$$ 1 $$這一次，有些事情我無法理解。 在論文第 6 頁的第 3 節中，他們推導出當對沖投資組合包括標的資產時現金賬戶的增長 $ S $ ，來自賣方的零回收債券 $ P_B $ 以及來自交易對手的零回收債券 $ P_C $ . 在解釋現金賬戶的增長時 $ d\bar{\beta}_F(t) $ ，他們寫道（我的重點）：
由以上分析可知，在購買自有債券後，賣方持有的任何剩餘現金必須賺取無風險利率 $ r $
$$ … $$
然後他們推導出現金賬戶的以下微分方程，方程（8）：
$$ d\bar{\beta}_F(t)={r(-\hat{V}-\alpha_BP_B)^++r_F(-\hat{V}-\alpha_BP_B)^-}dt $$
其他現金賬戶增長， $ d\bar{\beta}_S $ 和 $ d\bar{\beta}_C $ , 考慮標的資產的融資成本 $ S $ 和交易對手債券 $ P_C $ .
為什麼作者只考慮購買自有債券後的剩餘現金 $ P_B $ 在等式（8）中，而不是考慮購買/銷售 $ S $ 和 $ P_C $ ?
在我看來，對沖投資組合會產生資金成本/收益 $ S $ , $ P_C $ 和 $ P_B $ 因此我們應該查看包括所有購買在內的剩餘資金成本/收益（假設現金賬戶是對沖投資組合中的調整變數，可以隨時將其與衍生合約價值相等） $ t $ ).
所以等式 (8) 應該被替換為以下內容：
$$ \begin{align} &d\bar{\beta}_B(t)=-\alpha_BrP_Bdt \[2pt] &d\bar{\beta}_F(t)={r(-\hat{V}-\delta S-\alpha_CP_C-\alpha_BP_B)^++r_F(-\hat{V}-\delta S-\alpha_CP_C-\alpha_BP_B)^-}dt \end{align} $$
參考
$$ 1 $$Burgard、Christoph 和 Kjaer、Martin（2011 年）。“具有雙邊交易對手風險和資金成本的衍生品的偏微分方程表示”，信用風險雜誌，卷。7，第 3 期，1-19。
經過進一步分析，Burgard 和 Kjaer 得出的結果依賴於資產融資的假設 $ S $ 和交易對手債券 $ P_C $ 完全通過回購市場實現，而自己的債券融資是無擔保的。
為了使推導更加嚴謹，讓我們在他們的模型中正式引入以下定義明確的融資資產：
- 標的物回購協議 $ S $ 動態 $ \text{d}R_S(t)=q_SR_S(t)\text{d}t $ ;
- 另一個動態的交易對手債券回購 $ \text{d}R_C(t)=rR_C(t)\text{d}t $ ;
- 資金賬戶 $ F>0 $ 動態 $ \text{d}F(t)=r_F(t)F(t)\text{d}t $ 用於借貸；
- 一個存款賬戶 $ D>0 $ 動態 $ \text{d}D(t)=r(t)D(t)\text{d}t $ 用於貸款。
我們以與銀行賬戶或抵押賬戶相同的方式對回購進行建模。這是一致的，因為回購是另一種類型的融資資產，因此其運作方式與國庫貸款非常相似。然而我們應該期待 $ q_S<r_F $ 給定回購將被解釋為擔保貸款，這是 Piterbarg 在
$$ 2 $$. 另一方面，Burgard 和 Kjaer 假設 $ P_C $ 是無風險利率，考慮到債券是有風險的，這似乎很奇怪。 他們的對沖投資組合，即等式（6），可以重寫為： $$ \begin{align} -\hat{V}&= \delta S+\alpha_BP_B+\alpha_CP_C+\beta \ &= \delta S+\alpha_BP_B+\alpha_CP_C+(\beta_SR_S+\beta_CR_C+\beta_FF+\beta_DD) \end{align} $$ 他們的“現金單位” $ \beta(t) $ 應理解為所有融資資產的總和，每一項都以單位持有 $ \beta_X $ . 如果我們為資產提供全額資金 $ S $ 和債券 $ P_C $ 通過repos，那麼它們的值必須相互抵消，即： $$ \beta_S=-\delta\frac{S}{R_S}, \qquad \beta_C=-\alpha_C\frac{P_C}{R_C} $$ 然後我們剩下： $$ -\hat{V}-\alpha_BP_B=\beta_FF+\beta_DD $$ 我們可以設置資金和存款賬戶的單位，以確保投資組合對沖 $ \hat{V} $ . 前者是在需要藉現金時提取的，反之亦然。因此： $$ \beta_F=\left(\frac{-\hat{V}-\alpha_BP_B}{F}\right)^-, \qquad \beta_D=\left(\frac{-\hat{V}-\alpha_BP_B}{D}\right)^+ $$ 然後它是由積極性而來的 $ F $ 和 $ D $ : $$ \begin{align} \beta_F\text{d}F+\beta_D\text{d}D &=\beta_Fr_FF\text{d}t+\beta_DrD\text{d}t \ &=r_F(-\hat{V}-\alpha_BP_B)^-\text{d}t+r(-\hat{V}-\alpha_BP_B)^+\text{d}t \end{align} $$ 這對應於他們的等式（8）。
參考
$$ 2 $$弗拉基米爾·皮特巴格 (2012)。“貼現以外的融資：抵押協議和衍生品定價”，風險。