Delta 對沖頻率，Gamma PnL
我想知道 Gamma PnL 對不同對沖頻率的期望和變異數。
假設底層證券的回報遵循一個正常的過程： $ dr= \sigma*dW $ ，市場24小時交易，沒有交易成本。我認為我有一個不變的美元 $ \Gamma $ 位置（-r% 或 +r%, r $ \in $ $ \mathbb{R} $ )，提供相同的 $ \Gamma $ ) 帶有一系列選項。我還假設，白天的隱含交易量沒有變化，因此 vega PnL 為零。
每日波動率為 $ s = \frac{\sigma}{\sqrt{365}} $ 所以 $ dr \sim \mathcal{N}(0,s^2) $ .
如果我們對沖每一秒、幾小時……每個時間段，那麼 Gamma PnL 是多少 $ t $ ?
如果我們每次都對沖 $ t $ （為了簡化我規範化 $ t $ 一天，例如每小時 $ t $ = 1/24），使用布朗運動的性質，我可以認為我有 $ 1/t $ 獨立的退貨流程 $ dr_{t} \sim \mathcal{N}(0, s^2*t) $ ，然後 Gamma PnL 過程持續一天：
$ PnL_{\Gamma}= \frac{1}{t}\Gamma\frac{dr_{t}^2}{2} $
然後跟隨 $ PnL_{\Gamma}\sim \chi^2_{1} $ , 均值 $ E =\Gammas^2t/t = \Gammas^2 $ 和變異數 $ V = \Gamma^2s^4t^2/t^2 = \Gamma^2s^4 $
我不明白的是，Gamma PnL 不依賴於對沖頻率。隨著我們增加對沖頻率，我們應該有更少的變異數和更少的伽馬回報，倒數應該是真的嗎？我的數學哪裡失敗了？我沒看到。
從 quant 的角度來看（我相信更多的 quant 會加入），delta 對沖是隨機積分的物理表示，它本質上獨立於步長（在時間和價格維度上）。您真正可以說的是，您越接近連續對沖，您的對沖錯誤就越低。
從交易者的角度來看，如果您離開完美的 BS 世界，重新平衡頻率確實會發揮作用。例如，在現實生活中，您通常會嘗試優化對沖，以平衡 (a) 損益的平滑性、(b) 交易成本、(c) 波動率抑製或放大 (d) 在您的資產中發現的均值回歸再交易和 (e) 您的風險限制。
我上面所做的問題是我改變了時間單位，而不是保持相同的時間單位並比較不同的頻率。
我們想比較不同對沖頻率的收益，簡單的方法是使用不同頻率的對數收益：
$ dr_{t}=-\frac{s^2t}{2} + s\sqrt{t}*\epsilon∼N(-\frac{s^2∗t}{2},s^2∗t) $
如果您進行其餘的數學運算，您將得到預期 Gamma PnL 及其變異數的影響。