不同底層證券的 Delta 對沖
在Bouzoubaa 和 Osseiran的第 68 頁等式 5.3 中，作者討論了 delta 套期保值 $ S_1 $ 使用不同但相關的標的資產 $ S_2 $ . 作者提供了以下公式。
$$ \frac{\partial S_2}{\partial S_1}=\rho_{1,2}\frac{\sigma_2S_2}{\sigma_1S_1}, $$
在哪裡 $ \rho_{1,2} $ 是之間的相關性 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 和 $ \sigma $ 指波動性（標準差）。
我的問題
這個公式應該是
$$ \frac{\partial S_2}{\partial S_1}=\rho_{1,2}\frac{\sigma_2}{\sigma_1}, $$
反而？因為這將是 $ \hat{\beta} $ 在 OLS 回歸中（參見此處）。直覺地說，如果我們適合
$$ S_2 = \hat{\alpha} + \hat{\beta} S_1+\varepsilon, $$
然後
$$ \frac{\partial S_2}{\partial S_1}=\hat{\beta}=\rho_{1,2}\frac{\sigma_2}{\sigma_1}. $$
我錯過了什麼嗎？有哪些條款 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 在列印公式中做什麼？
我將使用雙變數條件正態分佈對幾何布朗運動的一些手動應用來解決這個問題：
對於多元正態分佈隨機變數 $ X $ , 分成兩塊 $ X_1,X_2 $ ， IE $ X\equiv\left(X_1,X_2\right)^T $ 具有零均值和共變異數矩陣
$$ \Sigma\equiv\begin{pmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{pmatrix} $$
的條件分佈 $ X_1 $ 給定 $ X_2 $ 也是正常的，具有平均結束變異數
$$ \begin{align} \mathrm{E}(X_1|X_2=x_2)&=\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}x_2\ \mathrm{V}(X_1|X_2=x_2)&=\Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21} \end{align} $$
在雙變數情況下 $ \mathrm{E}(x_1|x_2)=\frac{\sigma_1\sigma_2\rho}{\sigma_2^2}x_2=\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}x_2 $ 和 $ \mathrm{V}(x_1|x_2)=\sigma_1^2(1-\rho^2) $
它如何適用於您的問題
讓 $ S_1,S_2 $ 遵循二元幾何布朗運動：
$$ \begin{align} \frac{dS_i}{S_i}&=\mu_i dt+\sigma_idW_i \end{align} $$ 和 $ dW_1dW_2=\rho dt $ . 然後
$$ \begin{pmatrix}dS_1&dS_2\end{pmatrix}^T\sim\mathbf{N}\left(\mathbf{0}\times dt,\begin{pmatrix}S_1^2\sigma_1^2&S_1S_2\sigma_1 \sigma_2\rho\ S_1S_2 \sigma_1 \sigma_2 \rho&S_2^2\sigma_2^2\end{pmatrix}dt\right) $$
應用上述：
$$ \mathrm{E}\left(x_1|x_2\right)=\frac{S_1S_2\sigma_1\sigma_2\rho}{S_2^2\sigma_2^2}x_2=\frac{S_1}{S_2}\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\rho x_2 $$
和
$$ \mathrm{E}\left(x_2|x_1\right)=\frac{S_1S_2\sigma_1\sigma_2\rho}{S_1^2\sigma_1^2}x_1=\frac{S_2}{S_1}\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\rho x_1 $$
IE
$$ \mathrm{E}(dS_2)/dS_1=\frac{S_1S_2\sigma_1\sigma_2\rho}{S_1^2\sigma_1^2}=\frac{S_2}{S_1}\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\rho $$
這產生了書中的陳述。
HTH？