對沖
動態對沖策略範例
我面臨以下問題。讓標準布朗運動 $ W_t $ 是零利率經濟體中交易資產的價格過程。定義
$$ A_T=\frac{1}{T}\int_0^T W_t^2 dt $$ 我有兩個問題：
- 當時的公允價格是多少 $ t=0 $ 提供的契約 $ A_T $ ?
- 我們如何形成一個動態的對沖策略來消除必須傳遞這種索賠的所有風險？
我通過簡單地接受期望來回答第 1 部分。公平的價格是 $ E(A_T\mid \mathcal{F}_0)=\frac{T}{2} $ . 如何制定動態對沖策略？
考慮您投資的動態對沖策略 $ H_t $ 在當時的股票 $ t $ . 為了消除所有風險，投資價值必須等於當時的索賠 $ T $ . 使用伊藤的微積分，我們可以表達 $ A_T $ 如下：
$$ A_T=\frac{T}{2}+\int_0^T 2W_t \left(1-\frac{t}{T}\right) dW_t=\frac{T}{2}+\int_0^T H_tdW_t $$
因此，策略是從數量開始 $ T/2 $ （公平價格在 $ t=0 $ ) 和投資 $ H_t=2W_t(1-t/T) $ 動態在庫存中。
PS：這是 Black-Scholes 設置的一個特例，其中利率 $ r=0 $ . 如果 $ X_t $ 是持有的價值和 $ S_t $ 是股票價格，價值 $ dX_t $ 是 $ dX_t=H_tdS_t+(X_t-H_tS_t)rdt $ . $ H_t $ 是股票動態投資的金額，也稱為期權的delta。