對沖反向產品
我們有兩種不同的產品，價格相同 $ S(t) $ 一直以來 $ t $ . 產品一的支出由下式給出 $ w_1(\frac{100}{S(t)} - \frac{100}{S(t + \Delta t)}) $ 產品二的支出是 $ w_2(S(t + \Delta t) - S(t)) $ . 在哪裡 $ w_1 $ 和 $ w_2 $ 分別是購買或出售產品一和產品二的數量。
在時間 0 給定我們購買 $ w_1 $ 產品一，為了對沖我們應該出售的價格變化 $ w_2 = \frac{100w_1}{S(0)} $ 產品二的單位？我不確定的唯一原因是逆產品是產品二的逆單位，那麼這會改變我應該如何對沖產品一和產品二嗎？
離散時間？
如果我們採取 $ t=0 $ 和 $ t+\delta t=\tau $ ，您有以下支出： $$ \begin{align} \text{Payoff 1} &= \omega_1 \left(K_1 - \frac{100}{S_\tau}\right) \quad \text{and} \ \text{Payoff 2} &= \omega_2 (S_\tau - K_2). \end{align} $$
收益 1 明顯增加 $ S_\tau $ 收益 2 也是如此。（想像底層證券為 100，然後上升到 101：收益 1 將是 $ \frac{100}{100} - \frac{100}{101}>0 $ .) 因此，為了對沖收益 1，您將出售一些提供收益 2 的合約。
連續時間？
但是…我懷疑 $ t $ 正如你所說，是一個持續增加的時間指數。那麼，Payoff 2 顯然是“delta-1”投資。但是，您對 Payoff 1 的離散化陳述非常奇怪。所以，用連續的時間表達一切（不再 $ t+\Delta t $ ），我懷疑你的意思是 $$ \text{Payoff 1} = \omega_1 \frac{-100}{S_t}. $$ 在這種情況下，我們可以看一下內在價值的導數： $$ \frac{\partial \text{Payoff 1}}{\partial S_t} = \omega_1\frac{100}{S_t^2}. $$ 同樣在這種情況下，您將出售部分提供收益 2 的合約來對沖持有提供收益 1 的合約。
日誌支付？
最後，這種離散化有一點可能來自於考慮契約的回報 $ \log(\text{underlier}) $ ，因為導數 $ \log(S_t) $ 是 $ 1/S_t $ ）。如果是這種情況，並且您的離散化收益只是一種泰勒級數近似，那麼收益 1 將與 $ S-t $ .