對沖
關於在 Gamma PnL 中使用 Ito 引理的問題
如果我們用隱含波動率進行對沖，而實際波動率不同，則在推導 delta 對沖誤差時，我們說看漲期權的 PnL 為：
$$ dC=C_tdt+C_SdS+0.5C_{ss}<QV>dt - (1) $$
在哪裡 $ <QV> $ 是股票價格的“實現的二次變化”，而不是不正確的隱含波動率。雖然我從數學角度理解這一點（函式的變化取決於自變數的實際變化/動態），但我也明白這個看漲期權的價格必須以低於無風險利率的速度“漂移”（因此產生套利以正確的贖回價格）。但是，我看不出我是如何“實現”這個盈虧的。
考慮我在沒有期權流動性的市場買入看漲期權的情況。我明天回來，我標記模型，因此我的 PnL 應該由今天和明天模型價格的差異給出，這只是上面的等式，但隱含的 vol 用作二次變數。我怎麼知道明天標記我的呼叫值的正確值是多少？是否有一種市場機制會迫使我的看漲期權的價值由上述等式給出？這是否意味著我必須每天都在我的模型中記錄波動性，以與 PnL 保持一致？
編輯：我試圖以不同的方式問同樣的問題。讓 $ <QV> $ 是實際的二次變化和 $ <MV> $ 是股票價格的隱含二次變化。然後：
$$ dC(t,S_t;MV)=C_tdt+C_SdS+0.5C_{ss}<MV>dt $$ 其中衍生品以隱含的成交量計算。
$$ dC(t,S_t;QV)=C_tdt+C_SdS+0.5C_{ss}<QV>dt $$ 其中衍生品以真實的捲取。
然而，在等式 1 中，導數在隱含的 vol 上，而二次變化在真實的 vol 上。我不確定什麼功能 $ C $ 在等式（1）中。當然不是（2）和（3）的LHS中的功能。有人可以解釋等式（1）中涉及什麼呼叫價格函式嗎？
希望這能回答你的問題，表示 $ C_{model}(S,t)=e^{-rT}E_{{model}}[(S_T-K)^+] $
- 我們對現場動態進行建模 $ S $ 使用不同的模型，例如
- 在 BS 中， $$ \frac{dS}{S}=rdt+\sigma dW $$
- $ dC_{BS}(S,t)=\frac{\partial C_{BS}}{\partial t}dt+\frac{\partial C_{BS}}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}}{\partial S^2}dS^2 $
- $ dC_{BS}(S,t)=\frac{\partial C_{BS}}{\partial t}dt+\frac{\partial C_{BS}}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}}{\partial S^2}\sigma^2S^2dt $
- 注意 $ dC_{BS}(S,t) $ 只是 BS 世界中存在的期權的 PnL
有人可以解釋等式（1）中涉及什麼呼叫價格函式嗎？
- 在等式（1）中，你能澄清 dS 是現實世界的 $ dS $ 或型號 $ dS $ ?
- 如果你的意思是 $ dS $ 是布萊克斯科爾斯世界的 $ dS $ 和 $ \frac{dS}{S}=rdt+\sigma dW $ ， 然後 $$ dC_{BS}(S,t)=\frac{\partial C_{BS}}{\partial t}dt+\frac{\partial C_{BS}}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}}{\partial S^2}dS^2 $$
- 如果你的意思是 $ dS $ 是真實的世界 $ dS $ 動態未知，我認為你的方程（1）LHS的 $ C=C_{mkt} $ 和 RHS 的 $ C=C_{BS} $ ，基本上你想用黑色斯科爾斯希臘人解釋在真實 mkt 中觀察到的選項損益
- 等式 (1) 僅在隱含 vol 未改變時有效
- 如果隱含 vol 沒有改變： $ 𝑑𝐶_{mkt}=\frac{\partial C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial t}dt+\frac{\partial C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial S^2}dS^2 $
- 如果隱含 vol 發生了變化： $ 𝑑𝐶_{mkt}=\frac{\partial C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial t}dt+\frac{\partial C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial S^2}dS^2+\frac{\partial^2 C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial \sigma\partial S}dSd\sigma+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial \sigma^2}(d\sigma)^2+… $
- 你可以“實現”這個盈虧 $ dC $ 明天賣出期權
- 如果明天沒有流動性，這意味著您的看漲期權沒有市場報價來計算其新的隱含交易量。當然，您可以使用昨天的隱含波動率計算 delta、gamma 和 theta P&L 並估計今天看漲期權的 theo 值，但隱含波動率在現實世界中很少是恆定的，因此它只是一個估計值
- 盈虧
- 如果您在未重新校準參數的情況下標記為模型，您的 $ PnL = 𝐶_𝑡𝑑𝑡+𝐶_𝑆𝑑𝑆+0.5𝐶_{𝑠𝑠}dS^2 $ . 請注意，此 PnL 不等於 $ dC $ 如果模型參數明天改變
- 假設您的模型接受 $ \sigma $ 作為參數。如果重新校準 $ \sigma $ , PnL 高達二階讀取 $$ PnL=𝐶_𝑡𝑑𝑡+𝐶_𝑆𝑑𝑆+0.5𝐶_{𝑠𝑠}dS^2+C_{\sigma}d\sigma+C_{\sigma S}d\sigma dS+0.5C_{\sigma \sigma}(d\sigma)^2 $$
- 例如，現貨增加20美元，隱含成交量增加 2%，而您堅持標記模型而不重新校準，您的 $ PnL_{marktomodel} = 𝐶_𝑡𝑑𝑡+𝐶_𝑆(20)+0.5𝐶_{𝑠𝑠}20^2 $
- $ PnL_{marktomkt} = 𝐶_𝑡𝑑𝑡+𝐶_𝑆(20)+0.5𝐶_{𝑠𝑠}20^2+C_{\sigma}0.02+C_{\sigma S}(20)(0.02)+0.5C_{\sigma\sigma}0.02^2 =PnL_{marktomodel}+unexplained\ PnL $
- 儘管市場隱含參數值上升，但您拒絕調整參數這一事實意味著您的模型與昨天的參數不能再為您的期權定價與目前市場報價相同
- “我明天回來，我標記模型，因此我的 PnL 應該由今天和明天模型價格的差異給出，這只是上面的等式，但隱含的 vol 用作二次變數”：
- 我認為 $ Gamma\ PnL=\frac{1}{2}\Gamma dS^2 $ ，例如，如果今天的現貨是 100，明天的現貨是 120， $ Gamma\ PnL=\frac{1}{2}\Gamma 20^2 $
- BS 中的預期 Gamma PnL = $ \frac{1}{2}\Gamma_{BS}E[dS^2]=\frac{1}{2}(\Gamma_{BS}S^2)\hat\sigma^2dt $ . 您的預期 gamma P&L 與隱含波動率有關，但您實際的 gamma P&L 很簡單 $ \frac{1}{2}\Gamma dS^2 $
- 是否有一種市場機制會迫使我的看漲期權的價值由上述等式給出？
- 只有一個市場價格，我認為您指的是 PnL 歸因
- 正如您提到的，根據 Ito 的引理，PnL 被擴展為不同的偏導數
- 只要你重新校準參數，你的偏導數就會和市場的 $ dC $ （對於大多數型號而言，3 級或以上的條款不會產生重大影響）
- 表示 $ C=Model(S,t|\sigma) $ ， 和 $ C(S_0,t_0|\hat\sigma_0)=MktPrice(S_0,t_0) $
- 如果重新校準，那麼 $ MktPrice(S_1,t_1)=C(S_1,t_1|\hat\sigma_1) $ $$ C(S_1,t_1|\hat\sigma_1)-C(S_0,t_0|\hat\sigma_0)=𝐶_𝑡𝑑𝑡+𝐶_𝑆𝑑𝑆+0.5𝐶_{𝑠𝑠}dS^2+C_{\sigma}d\sigma+C_{\sigma S}d\sigma dS+0.5C_{\sigma \sigma}(d\sigma)^2+… $$
- 所以 $$ MktPrice(S_1,t_1)-MktPrice(S_0,t_0)=𝐶_𝑡𝑑𝑡+𝐶_𝑆𝑑𝑆+0.5𝐶_{𝑠𝑠}dS^2+C_{\sigma}d\sigma+C_{\sigma S}d\sigma dS+0.5C_{\sigma \sigma}(d\sigma)^2+… $$
- 無需重新校準，則 $ MktPrice(S_1,t_1)\neq C(S_1,t_1|\hat\sigma_0) $ $$ C(S_1,t_1|\hat\sigma_0)-C(S_0,t_0|\hat\sigma_0)=𝐶_𝑡𝑑𝑡+𝐶_𝑆𝑑𝑆+0.5𝐶_{𝑠𝑠}dS^2+C_{\sigma}0+C_{\sigma S}0 dS+0.5C_{\sigma \sigma}(0)^2+…=𝐶_𝑡𝑑𝑡+𝐶_𝑆𝑑𝑆+0.5𝐶_{𝑠𝑠}dS^2 $$