不允許賣空標的物時複製看跌期權
假設我們賣出一份到期的看跌期權 $ T $ ， 罷工 $ K $ 和費用 $ P_t=v(t, S_t, T, K, …) $ . 複製投資組合包括持有 $ \alpha_t = \frac{\partial{P}}{\partial{S}}=:\Delta_t $ 庫存單位， $ S_t $ ， 和 $ \beta_t = (P_t-\frac{\partial{P}}{\partial{S}} S_t)/M_t $ 貨幣市場賬戶或無風險債券的單位 $ M_t $ ， 在哪裡 $ dM_t=rM_t dt $ . 對於看跌期權，delta 為負，因此做多複制投資組合意味著做空股票並持有現金。
現在假設我們不能直接賣空任何股票，而是可以購買高度負相關的股票。是否仍然可以找到複製策略？非正式地，我認為可以將空頭頭寸的總美元價值除以反向相關的股價： $ \alpha_2 =-\Delta \cdot S/S_2 $ 獲得第二個負相關股票的買入單位數，假設相關性為 $ \rho=-1 $ 否則我們需要以某種方式考慮相關性……我想嚴格來說，有人會嘗試解決 $ (\alpha, \beta) $ 在 $$ \alpha_t , dS_2(t)+ \beta_t , dM(t)=dP(t), $$ 假設 $ \pi_t:= \alpha_t S_2(t)+\beta_t M(t) $ 是一個自籌資金的投資組合，其中 $$ dS_2(t)=\mu_2 S_2(t) dt +\sigma_2S_2(t)\left(\rho dB_1(t)+\sqrt{1-\rho^2}dZ(t)\right), $$ 和 $ B=(B_t) $ 和 $ Z=(Z_t) $ 是獨立的布朗運動，前驅 $ S_1(t) $ ， IE $ dS_1(t)=\mu_1 S_1(t)dt+\sigma_1 S_1(t) dB_1(t) $ . 現在，當我們實際上可以對沖標的資產時， $ S_1 $ ，沒有限制，我們簡單地用定價 PDE 來寫 $ dP=(P-S_1\Delta)rdt+\Delta dS_1 $ 並且可以辨識 $ (\alpha, \beta) $ 如上所述。據我所知，這在新場景中不起作用，這就是我卡住的地方。
簡而言之，我的問題是*，如果可能的話，我們如何在不允許賣空標的資產但我們可以交易反向相關股票的情況下複製看跌期權？*如果我在設置或假設中犯了任何錯誤，請發表評論，謝謝。
2020 年 3 月 17 日更新
在 Black-Scholes 動力學下 R 中的數值實驗表明 $ \alpha_t = \gamma\frac{\sigma_1 S_1(t) \Delta_t}{\sigma_2 S_2(t) \rho} $ 一定比例 $ \gamma $ 是一種有效的臨時方法，具有 $ \beta=\gamma(P_t-\Delta_t S_1(t))/M_t $ . 但我還沒有證實這是自籌資金等，也沒有正式的證據證明它可以複製 $ P_t $ ，或任何客觀的選擇標準 $ \gamma $ 然而。所以我的疑問/問題仍然存在。
在不允許賣空標的資產但我們可以交易反向相關股票的情況下，如果可能的話，我們如何複製看跌期權？
好的，第一件事。你的自籌資金投資組合失敗是因為你有兩個不同的風險因素（布朗運動），所以你永遠無法在不涉及標的的情況下複製看跌期權。因此，無論您嘗試多少，投資組合都不會是無風險的。雖然您不可能沒有風險，但您仍然可以通過使用負相關股票來降低風險，但您仍然會因無法完美對沖（遠非如此）而損失 PnL。這是因為與 $ \rho \neq -1 $ ，您將只能部分替代 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ .
你知道你可以完美地對沖期權 $ n_1=\Delta_t $ 它的單位。單位如何 $ S_2 $ 我們需要對沖/替代嗎 $ S_1 $ ?
$$ dV = n_1 \cdot dS_1 - n_2 \cdot dS_2 = {\text{insert equatons for dS_1 and dS_2}} $$ 取雙方的差異，區分wrt $ n_2 $ 並找到最小變異數。你明白了 $$ n_2^*(t) = \frac{n_1(t)\sigma_1S_1(t)}{\sigma_2S_2(t)}\rho = \frac{\sigma_1S_1(t)\Delta_t}{\sigma_2S_2(t)}\rho $$
現在將此解決方案插入到您的投資組合的微分方程中，該投資組合由期權、貨幣賬戶和股票組成 $ S_2 $ ，您將獲得該投資組合的動態（這不會是無風險的）。
您會注意到，您需要相當大的負相關才能很好地對沖，這很難找到。
另一種在實踐中也主要用於對沖市場風險的方法是使用單一股票期貨或指數期貨來對沖。它們都更便宜（佣金明智）（尤其是指數）並且沒有任何賣空限制，並提供槓桿作用，因為您主要只為大約 20% 的保證金支付現金。
正如評論中提到的，您還可以在同一基礎上使用看漲期權，以限制看跌期權的風險。例如，您可以購買具有相同到期和行使價的看漲期權，使用看跌期權平價來收回股票，並使用股票期貨進行對沖，這意味著您不再需要頻繁地進行動態對沖，因為消除了大部分凸性。