特定時間或有債權的價值
考慮一個或有債權，其到期價值 T 由下式給出
$ \min(S_{T_0}, S_T) $
在哪裡 $ T_0 $ 是成熟前的某個中間時間， $ T_0 < T $ ， 和 $ S_T $ 和 $ S_{T_0} $ 是資產價格 $ T $ 和 $ T_0 $ ， 分別。假設不支付股息的標的資產價格採用通常的幾何布朗過程，表明當時或有債權的價值 $ t $ 是（誰）給的
$ C(T-T_0, s) = S[1-N(d_1)+e^{r(T-T_0)}N(d_2)] $
其中 S 是當時的資產價格 $ t $ 和
$ d_1 = \frac{\left( r+ \frac{\sigma^{2}}{2} \right)(T-T_0)}{\sigma \sqrt{T-T_0}}, d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-T_0} $
我以前問過類似的問題，但現在應用 min 函式時我很困惑。非常感謝任何建議。
這與遠期啟動期權的估值有關。讓我們假設 Black-Scholes 世界（恆定體積），為簡單起見，不失一般性，我將設置 $ r=q=0 $ .
請注意 $$ \min(S_T,S_t) = S_T - (S_T - S_t)+ $$ 該索賠當時的價值 $ 0 $ 是 $$ \begin{align} E_0 \left[ \min(S_T,S_t) \right] &= E_0\left[S_T \right] - E_0 \left[(S_T - S_t)+\right] \ &= S_0 - E_0 \left[(S_T - S_t)_+\right] \end{align} $$
第二項是 II 型 ATM 前向啟動選項。要評估它，請使用“調節技巧”： $$ \begin{align} E_0 [\left[(S_T - S_t)+\right] &= E_0 \left[ E_t \left[(S_T - S_t)+\right] \right] \ &= E_0 [C(S_t,S_t,T-t)] \ &= E_0 [S_t C(1,1,T-t)] \ &= S_0 C(1,1,T-t) \end{align} $$ 和 $ C(1,1,T-t) $ 具有現貨價格的 Black-Scholes 呼叫價格函式 $ 1 $ 並罷工 $ 1 $ .
所以， $$ E_0 \left[ \min(S_T,S_t) \right] = S_0 \left(1 - C(1,1,T-t) \right) $$