收支平衡 水平 局部波動
我遇到了一個展示文稿，其中指出使用局部波動率模型，期權的 PnL 是
和
他所說的現貨/成交量相關 = -100% 是什麼意思？
LV 模型是一種特殊的模型，在該模型中，給定行使價和成熟度的歐洲香草的隱含波動率出現了時間、現貨水平和使用的局部波動率函式的確定性函式 $ \sigma(\cdot, \cdot) $ .
$$ \hat{\sigma}{KT} = f(t, S_t; \sigma) $$ 這樣使用伊藤可以寫 $$ \begin{align} \frac{ dS_t }{S_t } &= \mu dt + \sigma(t,S_t) dW_t^\Bbb{Q} \ d\hat{\sigma}{KT} &= \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial S} (r-q) S_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \sigma^2(t,S_t) S_t^2 \right) dt + \frac{\partial f}{\partial S} \sigma(t,S_t) S_t dW_t^\Bbb{Q} \ &:= \mu_{KT} dt + \nu_{KT} \hat{\sigma}{KT} dW_t^\Bbb{Q} \end{align} $$ 從那裡你可以看到，如果市場表現如模型所假設的那樣 $$ \Bbb{E}\left[ \frac{\delta S}{S} \frac{\delta \hat{\sigma}{KT}}{\hat{\sigma}{KT}} \right] = \sigma(t,S_t) \nu{TK} \delta t $$ 並且上述損益方程中的伏爾加項在預期中消失，獨立於所考慮的工具，這是真正市場模型的要求（獨立於收益的盈虧平衡水平）。 現在看看我們擁有的本地波動率模型定價的現貨/隱含波動率相關性：
$$ \frac{d \langle \ln S, \hat{\sigma}{KT} \rangle_t}{\sqrt{ d \langle \ln S \rangle_t d \langle \hat{\sigma}{KT} \rangle_t } } = \frac{ \sigma^2(t,S_t) S_t \frac{\partial f}{\partial S} dt }{ \sigma^2(t,S_t) S_t \left\vert \frac{\partial f}{\partial S} \right\vert dt } = \text{sign}\left(\frac{\partial f}{\partial S}\right) = \text{sign}\left( \frac{{\partial \hat\sigma}_{KT}}{\partial \ln S} \right) $$ 因為 $ S_t \geq 0, \forall t>0 $ 換句話說，相關性是 +100% 或 -100% 或 0%，具體取決於 RHS 上術語的符號。
現在碰巧後一種偏導數對於負偏的香草市場是負的，這是（大多數）股票市場的情況。要更好地掌握這個需要單獨回答的結果，請參閱 Bergomi 的書第 2 章，方程 (2.58)-(2.59)-(2.60)。