對應於隱含波動率表面的局部波動率表面
在關於局部體積的 Derman/Kani/Zou 論文中，他們從隱含體積表面重建了局部體積表面。“隱含波動率”表面所描繪的每個隱含波動率都是 Black-Scholes 隱含波動率。基本上，您必須輸入 Black-Scholes 公式以使其理論期權價值與期權的市場價格相匹配的波動率。
現在，在局部波動率模型中，他們從隱含的 Black- 報價的可用期權價格範圍中提取市場對未來局部波動率 σ(S,t) 的共識，作為未來指數水平 S 和時間 t 的函式。斯科爾斯波動。該模型將一致的隱含樹與這些報價的期權價格擬合，然後允許計算所有（標準和外來）期權的公允價值和風險敞口，與所有初始流動期權價格一致。
問題：如果我比較論文中隱含 vol 表面和局部 vol 表面的圖表，為什麼會有如此不同？本地成交量應與流動性期權價格一致。即 Term 1.0, 550 級別：隱含表面 13.5% vol，局部 vol 表面 18% vol。如果市場上有流動性罷工，他們應該有相同的成交量，對嗎？
非常感謝
您不應該期望本地 vol 等於隱含 vol，除非在兩者都是恆定的微不足道的情況下（Black-Scholes 模型）。我沒有讀過 Derman 的文章，但使用 Dupire 的公式很清楚（例如，參見 Gatheral 的書）。
可以使用 Dupire 公式根據呼叫價格計算局部波動率
$$ \sigma^2(T,K) = \frac{\frac{\partial C}{\partial T} + (r - q)K \frac{\partial C}{\partial K} + qC}{ \frac{1}{2} K^2 \frac{\partial^2C}{\partial K^2}} $$ 要獲得與隱含波動率的關係，最好考慮對數遠期貨幣 $ y = \ln(K/F_0^T) $ 而不是罷工。寫作 $ w(T,y) = T\Sigma^2(T,y) $ 對於總隱含變異數，Black-Scholes 公式為 $$ C(T,K) = C_{BS}(T,K,\Sigma(T,\ln(K/F)),r,q) = S_0 \left( N(-\frac{y}{\sqrt{w}} + \frac{1}{2}\sqrt{w}) - e^y N(-\frac{y}{\sqrt{w}} - \frac{1}{2}\sqrt{w}) \right) $$ 將其代入 Dupire 公式，得到
$$ \sigma_{\mathrm{Dup}}(T,K)^2 = \frac{ \frac{\partial w}{\partial T} }{1 - \frac{y}{w} \frac{\partial w}{\partial y}+ \frac{1}{4}\left( - \frac{1}{4} + \frac{1}{w} + \frac{y^2}{w^2} \right) \left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} } $$ 這個通用公式可以在極限情況下簡化：
無偏斜：在這種情況下， $ \sigma_{\mathrm{Dup}}(T)^2 = \frac{\partial w}{\partial T} = \Sigma(T)^2 + 2T\Sigma\frac{\partial \Sigma}{\partial T} $ . 局部 vol 已經不同於隱含 vol，除非它們都是常數（Black-Scholes 模型）。
短期到期：何時 $ T\to 0 $ ，並且隱含 vol 的導數保持有界，可以檢查
$$ \Sigma(0,y) = \frac{1}{\int_0^1 \frac{dt}{\sigma(0,ty)}} $$ 以便
$$ \frac{\partial \Sigma}{\partial y} (0,0) = \frac{1}{2}\frac{\partial \sigma_{Dup}}{\partial y} (0,0) $$ 換句話說，在貨幣方面，對於非常短的期限，隱含波動率偏差是局部波動率偏差的一半。 另請注意，如果您從兩次可微的隱含 vol 表面開始，則局部 vol 將只是連續的。
粗略地說：
如果當時的現貨是 S，則局部波動是時間 T 之後的瞬時波動。
隱含波動率是從今天到時間 T 的預期綜合波動率，如果當時現貨在 S 結束。