測試 Dupire 的局部波動率模型的實現
我已經實現了 Dupire 的局部波動函式 $ \sigma(K,T) $ 使用看漲期權價格時間和執行衍生工具。 $ \sigma(K,T) $ 使用固定地點 $ S_0 $ . 表面 $ \sigma(K,T) $ 緊密匹配市場隱含波動率表面 $ \sigma_{mkt}(K,T) $ .
我對如何在蒙地卡羅模擬中測試模型感到困惑。底層路徑將使用模擬
$ S_{t+1} = S_t*\exp((r-0.5*\sigma(S_t,t)^2)dt + \sigma(S_t,t)*\sqrt{dt}*dB_t $
從點開始 $ S_0 $ .
這裡 $ (K,T) $ 在 $ \sigma(K,T) $ 被演奏 $ (S_t, t) $ .
我需要“匹配原版期權的價格”，但這意味著什麼？如果我們專注於期限 T，我可以計算在 K 處以期限 T 進行的看漲期權的 MC 價格為
$ \text{price} = \exp(-R_T T)*\text{average of} \max(0,S_T-K) $
其中平均值是使用具有局部波動性的 GBM 模擬的路徑。如果對多次行使價重複此操作，那麼預期結果價格是否會與用於計算所有行使價的市場隱含波動率的價格相匹配？
在測試模型的實現是否正確時，您基本上每次都做同樣的事情。
- 檢查您是否將校準儀器重新定價到可接受的準確度。
- 如果您的模型中有您想要複製的其他效果，請同時檢查（那些）。
就您的問題和本地捲而言，這主要只是適用的第一點。正如您在問題中所問的那樣 - 是的，這只是檢查您的期權價格是否與輸入期權相匹配的問題。
我建議您不要單獨嘗試每個選項，因為您可以一次為所有選項重用生成的路徑，從而顯著減少計算負擔……
- “匹配普通期權的價格”
- 這意味著您需要使用 monte carlo sims 為您的 LV 模型重新定價所有香草。如果所有價格都完全等於市場價格，則您的 LV 型號校準良好
我認為您的公式中有錯字，應該是 $$ S_{t+1}=S_t\ exp((r-\frac{\sigma(S_t,t)^2}{2})dt+\sigma(S_t,t)\sqrt{dt}N(0,1)) $$
- “如果對多次罷工重複這種情況，那麼對於所有罷工，最終的價格是否會與用於計算市場隱含波動率的價格相匹配？”
- 根據定義，LV 可以完美契合市場上的所有香草。對於未觀察到的罷工和到期，這將取決於您對隱含波動率表面的內推/外推