如何從 IV 面獲得局部波動率？
我必須研究 Dupire 的模型。
如果我對 Fengler 的論文理解得足夠好，我們可以從隱含波動率平滑表面得到局部波動率，因為如果不是這樣，它看起來就像右頁 35上的圖形一樣顛簸，當我使用詳細和近似的公式時，這不是我所擁有的本文（Kotze 等人：南非指數和外匯期權的隱含和局部波動率表面）。
所以我使用非參數回歸對其進行了平滑處理，根據這篇論文（Wu, Liu：Curve-Fitting Method for Implied Volatility），它是不錯的，然後我不知道該怎麼辦。
我絕對不明白的第一件事是為什麼我們可以使用 $ \sigma_{1}(t)\sigma_{2}(S) $ 對其進行正則化並獲得一個函式，而不是 $ \sigma(S, t) $ （我在板上看到它真的很快，所以我可能錯了）。然後，我們如何從隱含波動率表面得到 vol 表面？（我不是要求完整的程序，但是對於一些提示，作為初學者很難理解所有內容）。
謝謝。
您可以使用以下公式將隱含波動率轉換為局部波動率：
$ \sigma^2 \left(T,y\right)=\frac{\frac{\partial w}{\partial T}}{1 -\frac{ y}{w} \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{ y^2}{w^2}-\frac{1}{w}-\frac{1}{4}\right)\left( \frac{\partial w}{\partial y}\right)^2} $
其中 y 是貨幣性，定義為 $ y=\ln \left(\frac{ K}{F} \right) $ , w 是 Black Scholes 隱含 vol 的變換 $ w=\sigma_{BS}^2,T $
所以轉換部分很容易。那麼挑戰是：我們只為有限數量的罷工和成熟度隱含了 vol 報價，我們當然可以通過這些點擬合曲面，並獲得我們喜歡的粒度級別的局部 vol 曲面，但是有無限數量的函式適合我們獲得的有限數量的數據點的形式。所以你必須引入一些約束，這些可能是指定函式本身的形式（例如，三次樣條、SVI 等），或者進行一些正則化（例如，首選平滑函式），這就是規則的方式方面發揮作用。
希望這可以幫助！